Đăng nhập

Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Trị

Thời gian
150 phút
Số câu
5 câu
Đáp án
Có đáp án

Câu 1

1,5 điểm

Cho biểu thức P=(1a−1+3a+5aa−a−a+1)⋅(a+14a−12)P = \left(\dfrac{1}{a-1} + \dfrac{3\sqrt{a}+5}{a\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right)\cdot\left(\dfrac{a+1}{4\sqrt{a}}-\dfrac{1}{2}\right) với a>0,a≠1a>0, a \neq 1.

  1. a)

    Rút gọn biểu thức PP.

  2. b)

    Chứng minh P>3a+a+1P > \dfrac{3}{a+\sqrt{a}+1}, với mọi a>0,a≠1a>0, a \neq 1.

Câu 2

2,0 điểm
  1. 1)

    Một trường học có 80 giáo viên, với tuổi trung bình là 45. Biết rằng tuổi trung bình của các giáo viên nam và giáo viên nữ trong trường lần lượt là 50 và 42. Hỏi trường đó có bao nhiêu giáo viên nam, bao nhiêu giáo viên nữ?

  2. 2)

    Giải phương trình 4x+1+21−x=2+1+3x−4x2\sqrt{4x+1} + 2\sqrt{1-x} = 2 + \sqrt{1+3x-4x^{2}}.

Câu 3

3,5 điểm
  1. 1)

    Từ một mảnh bìa hình quạt tròn bán kính 2424 (cm)(cm) ứng với cung 150∘150^{\circ} (hình 1), Nam gắn hai mép giấy dọc theo các bán kính OA,OBOA, OB lại với nhau để tạo một chiếc mũ sinh nhật có dạng hình nón không đáy (hình 2). Hãy xác định chiều cao của chiếc mũ.

    Hình 1 - Hình quạt tròn bán kính 24cm ứng với cung 150 độ và Hình 2 - Hình nón tạo thành

    Hình 1

  2. 2)

    Cho tứ giác nội tiếp ABCDABCD có các tia ABAB và DCDC cắt nhau tại FF, các tia ADAD và BCBC cắt nhau tại EE.

    1. a)

      Chứng minh rằng BDAC=EDEC=FBFC\dfrac{BD}{AC} = \dfrac{ED}{EC} = \dfrac{FB}{FC}.

    2. b)

      Đường phân giác của góc AEBAEB cắt các cạnh ABAB và CDCD tương ứng tại MM và PP, đường phân giác của góc AFDAFD cắt các cạnh CBCB và DADA tương ứng tại NN và QQ.

    3. i)

      Tứ giác MNPQMNPQ là hình gì, tại sao?

    4. ii)

      Chứng minh rằng giao điểm của MPMP và NQNQ nằm trên đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo của tứ giác ABCDABCD.

Câu 4

1,5 điểm

An và Bình mỗi bạn viết ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 10 lên bảng.

  1. a)

    Tính xác suất để số An viết bé hơn số Bình viết.

  2. b)

    Tính xác suất để An viết được số aa và Bình viết được số bb thoả mãn điều kiện: a3+b3−6ab+8a^{3}+b^{3}-6ab+8 là một số nguyên tố.

Câu 5

1,5 điểm
  1. 1)

    Giả sử aa và bb là các số nguyên sao cho phương trình x2+ax+b=0x^{2}+ax+b=0 nhận số hữu tỉ pq\dfrac{p}{q} làm nghiệm (pp và qq nguyên tố cùng nhau). Chứng minh pp chia hết cho qq.

  2. 2)

    Tìm tất cả các số hữu tỉ dương x,yx, y sao cho xyxy và 1x+1y\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} đều là các số nguyên.

HẾT
Đăng nhập để làm bài