Đăng nhập

Đề minh họa tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG TP HCM

Thời gian
150 phút
Số câu
5 câu
Đáp án
Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm
  1. 1)

    Giải hệ phương trình

    {x3+z3=3yy3+x3=3zz3+y3=3x\begin{cases} x^3 + z^3 = 3y \\ y^3 + x^3 = 3z \\ z^3 + y^3 = 3x \end{cases}
  2. 2)

    Cho hai số nguyên dương a,ba, b phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm

    (x−1)[x2−2(a+b)x+ab+2]=0.(\sqrt{x} - 1)\left[x^2 - 2(a + b)x + ab + 2\right] = 0.

Câu 2

1,5 điểm

Cho hai số thực không âm a,ba, b thỏa a+b=2a + b = 2. Chứng minh

72≤1a3+b3+3ab≤72ab.\frac{7}{2} \le \frac{1}{a^3 + b^3} + \frac{3}{ab} \le \frac{7}{2ab}.

    Câu 3

    2,0 điểm

    Cho hai số tự nhiên a,ba, b thỏa mãn 2a2+a=3b2−b2a^2 + a = 3b^2 - b.

    1. a)

      Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố thì a=ba = b.

    2. b)

      Chứng minh rằng 2a−2b+12a - 2b + 1 là số chính phương.

    Câu 4

    3,0 điểm

    Cho tứ giác ABCDABCD nội tiếp đường tròn (O) có tam giác ABDABD là tam giác nhọn và đường chéo AC đi qua tâm O của đường tròn (O). Gọi I là trung điểm BD, H là trực tâm của tam giác ABDABD, E là giao điểm khác A của AI với (O) và K là hình chiếu vuông góc của H lên AI.

    1. a)

      Chứng minh CEHKCEHK là hình bình hành và IB2=ID2=IA.IKIB^2 = ID^2 = IA.IK.

    2. b)

      Lấy điểm F trên cung nhỏ BD^\widehat{BD} của đường tròn (O) sao cho BAF^=DAI^\widehat{BAF} = \widehat{DAI}. Chứng minh các điểm K và F đối xứng nhau qua đường thẳng BD.

    3. c)

      Chứng minh các đường phân giác trong các góc BAD^\widehat{BAD} và BKD^\widehat{BKD} cắt nhau trên BD.

    4. d)

      Trên đường thẳng qua H và song song AC lấy điểm T sao cho TH=TKTH = TK. Chứng minh các điểm O, K, F, T cùng thuộc một đường tròn.

    Câu 5

    1,5 điểm

    Cho các số nguyên dương a1<a2<a3<...<a30<a31a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_{30} < a_{31}. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.

    1. a)

      Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thẻ còn lại. Chứng minh a1≥226a_1 \ge 226.

    2. b)

      Lấy a1,a2,...,a31a_1, a_2, ..., a_{31} là 31 số nguyên dương đầu tiên: 1,2,...,311, 2, ..., 31. Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thì thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.

    HẾT
    Đăng nhập để làm bài