Đề khảo sát tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Trường THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho ba số $a, b, c$ khác $0$ thỏa mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ , tính giá trị biểu thức
$A = \frac{ab}{c^{2}} + \frac{bc}{a^{2}} + \frac{ca}{b^{2}}.$
b)
Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, chứng minh rằng không tồn tại ba số nguyên phân biệt $a, b, c$ sao cho $P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a$ .

Câu 2

1,0 điểm

Xét hệ phương trình: $\begin{cases} y^{2} - (x + y) = m \\ x^{2} - (x + y) = m \end{cases}$ (với $m$ là tham số), tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất.

Câu 3

1,0 điểm

Có 10 bạn (trong đó chỉ có một bạn tên An và một bạn tên Bảo) xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc, tính xác suất để trong đó nhất thiết có 2 bạn An và Bảo phải đứng cạnh nhau.

Câu 4

2,0 điểm

a)
Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn tính chất $(2^{n} + 1) \vdots n$ .
b)
Cho $p$ là số nguyên tố, chứng minh phương trình $\frac{x^{2} + x}{y^{2} + y} = p^{4}$ không có nghiệm nguyên dương.

Câu 5

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , ngoại tiếp đường tròn $(I)$ . Đường thẳng đi qua $I$ vuông góc với $AI$ cắt $BC$ tại $T$ .

a)
Chứng minh $TI$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ .
b)
$AI$ cắt lại $(O)$ tại $D$ ( $D$ khác $A$ ), đoạn $TI$ cắt $(O)$ tại $Q$ , $QD$ cắt $BC$ tại $P$ . Chứng minh rằng $IP^{2} = PB.PC$ .
c)
Gọi $E, F$ là tiếp điểm của $(I)$ theo thứ tự với $AC, AB$ và $N$ là trung điểm $EF$ . Chứng minh rằng $\widehat{BNC}$ tù.

Câu 6

1,0 điểm

Trên bảng có viết 2025 số nguyên dương từ 1 đến 2025. Mỗi lần ta được phép xóa đi 2 số $a, b$ tùy ý có trên bảng và thay bởi số $|a - b|$ . Thực hiện cho tới khi trên bảng chỉ còn đúng một số là $m$ . Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $m$ .

HẾT