Đề minh họa tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho $x, y, z$ là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện $xy + yz + zx = 12$ . Chứng minh rằng
$x\sqrt{\frac{(12 + y^2)(12 + z^2)}{12 + x^2}} + y\sqrt{\frac{(12 + x^2)(12 + z^2)}{12 + y^2}} + z\sqrt{\frac{(12 + x^2)(12 + y^2)}{12 + z^2}} = 24.$
b)
Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập hợp $S$ . Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho 7.

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^2 + 2x^2 + 3y - 4x - 3xy + 2 = 0 \\ \sqrt{y - x + 1} + \sqrt{x^2 - y + 3} - 2 = 0. \end{cases}$
b)
Giải phương trình $\sqrt{x^3 + 1} + x^2 - 3x - 1 = 0$ .

Câu 3

2,0 điểm

a)
Cho $x, y$ là hai số tự nhiên thỏa mãn $x > y > 0$ . Chứng minh rằng nếu $x^3 - y^3$ chia hết cho 3 thì $x^3 - y^3$ chia hết cho 9.
b)
Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ và $y$ sao cho $2^x + 3^y$ là số chính phương.

Câu 4

3,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB < AC$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $AM$ cắt $(O)$ tại điểm $D$ khác $A$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ khác $C$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $F$ khác $B$ .

a)
Chứng minh ba điểm $E, M, F$ thẳng hàng;
b)
Chứng minh rằng $OA \perp EF$ ;
c)
Phân giác của góc $BAC$ cắt $EF$ tại điểm $N$ . Phân giác của góc $CEN$ và góc $BFN$ lần lượt cắt $CN$ , $BN$ tại $P, Q$ . Chứng minh rằng $PQ // BC$ .

Câu 5

0,5 điểm

Một hộp bi có 100 viên. Hai bạn Hòa và Bình cùng chơi trò lấy bi ra khỏi hộp có luật chơi như sau: Mỗi lần, người chơi chỉ được lấy 1, 2 hoặc 3 viên ra khỏi hộp, ai là người lấy được những viên bi cuối cùng trong hộp sẽ là người chiến thắng. Giả sử Hòa là người thực hiện trước, theo em Bình sẽ thực hiện cách lấy bi như thế nào để chắc chắn giành chiến thắng?