Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Hải Phòng

Gọi $S$ là tập hợp gồm các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau, tạo thành từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ và $6$. Mỗi bạn An và Bình viết ngẫu nhiên một số thuộc tập $S$ lên bảng. Tính xác suất để tổng của hai số được viết lên bảng là số chẵn.

Lúc $6$ giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ vị trí $A$ đến vị trí $B$, quãng đường $AB$ dài $25$ km. Khi đi được $\frac{2}{5}$ quãng đường $AB$, Hải dừng lại tại vị trí $C$ để ăn sáng $35$ phút. Sau đó, Hải tiếp tục đi từ $C$ đến $B$ với tốc độ chậm hơn $2$ km/giờ so với tốc độ đi trên đoạn đường $AC$. Khi đến $B$, Hải nghỉ lại $45$ phút và quay ngược trở lại $A$ (theo tuyến đường ban đầu) với tốc độ bằng $\frac{3}{4}$ tốc độ đi đoạn đường từ $A$ đến $C$. Hải về đến $A$ lúc $10$ giờ $20$ phút sáng cùng ngày. Hỏi bạn Hải đến $B$ lúc mấy giờ (giả sử tốc độ trên từng đoạn đường là không đổi)?

Giải phương trình $x^2 + 2x + 2x\sqrt{x+1} = 5 - \sqrt{x+1}$.

Giải hệ phương trình $\begin{cases} x(x+1) = (y-1)(y-2) \\ 4x^2 - 3y + 6 = 4x\sqrt{4-y} + 2\sqrt{x-y} \end{cases}$

.

Chứng minh $MA.MI = MH.MD$.

Tia $AH$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm $P$ ($P$ khác $H$). Chứng minh hai đường thẳng $DP$ và $EF$ song song.

Gọi $X$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$, đoạn thẳng $AX$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại điểm $N$ ($N$ khác $A$), tia $DI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ tại điểm $G$ ($G$ khác $I$). Chứng minh tiếp tuyến tại $G$, tiếp tuyến tại $N$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và đường thẳng $EF$ đồng quy.

Tìm các số nguyên dương $a, b$ sao cho các số $8a^3 + 18ab + 1$ và $8b^3 + 18ab + 1$ đều là lập phương của số nguyên.

Cho tập hợp $S = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 \le x \le 15\}$. Xét $T$ là một tập con của $S$ và có tính chất: với $a, b, c$ bất kì thuộc $T$ ($a, b, c$ đôi một khác nhau) thì tích $abc$ không là số chính phương. Hỏi $T$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử? (Tập hợp $A$ được gọi là tập con của tập hợp $B$ nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$).