Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Bắc Kạn

Câu 1

1,0 điểm

Cho biểu thức $A = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 4$ .

a)
Rút gọn biểu thức $A$ .
b)
Tìm các số nguyên $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên.

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{x^{2} + 12} + 5 = 3x + \sqrt{x^{2} + 5}$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{x^{2} + 1}{y^{2}} \\ 2y = \dfrac{y^{2} + 1}{x^{2}}. \end{array} \right.$

Câu 3

2,0 điểm

Cho phương trình $x^{2} + 6x - m^{2} + 6m = 0$ (1) ( $m$ là tham số).

a)
Tìm các giá trị $m$ nguyên để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện $x_{1}x_{2} > 5$ .
b)
Tìm các giá trị $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2} - 8x_{1} = x_{2}$ .

Câu 4

1,0 điểm

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $x^{2} - xy + 3x - 2y^{2} - 3y - 3 = 0$ .

Câu 5

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ $(AB < AC)$ . Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ , tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$ . Gọi $S$ là giao điểm của $AI$ và $DE$ .

a)
Chứng minh $IECD$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Gọi $K, O$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ . Chứng minh $K, O, S$ thẳng hàng.
c)
Gọi $M$ là giao điểm của $KI$ và $AC$ . Đường thẳng chứa đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ cắt đường thẳng $DE$ tại $N$ . Chứng minh $\widehat{HNM} = \widehat{EMN}$ .

Câu 6

1,0 điểm

Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $x + y < 1$ . Chứng minh $\dfrac{x^{2}}{1 - x} + \dfrac{y^{2}}{1 - y} + \dfrac{1}{x + y} + x + y \geq \dfrac{5}{2}$ .