Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Đồng Nai

Câu 1

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $P = \left(\dfrac{x+5}{x+\sqrt{x}-2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\right) : \dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ (với $x \geq 0, x \neq 1$ ).
2)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{2} - 2x + 3m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 20$ .

Câu 2

2,25 điểm

1)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} xy + y^{2} - 2x - 2y = 0 \\ x^{2} + 2xy - 3 = \sqrt{x+y+1} \end{cases}$

.
2)
Cho $P(x)$ là đa thức bậc ba thỏa mãn $(x+2)P(x+1) = (x-1)P(x+2)$ , với mọi số thực $x$ và $P(3) = 6$ . Chứng tỏ $P(2) = 0$ và xác định đa thức $P(x)$ .

Câu 3

2,0 điểm

1)
Chứng minh trong 37 số nguyên dương bất kỳ, luôn tìm được 7 số có tổng chia hết cho 7.
2)
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho với mọi số nguyên dương $a, b$ thì hai số $a+8b$ và $6a+43b$ hoặc cùng chia hết cho $p$ hoặc cùng không chia hết cho $p$ .

Câu 4

0,75 điểm

1)
Cho các số thực dương $a, b$ . Chứng minh $a^{3} + b^{3} \geq a^{2}b + b^{2}a$ .
2)
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca \geq 3$ . Chứng minh
$2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) + 3abc \geq 9.$

Câu 5

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ (với $AB < BC < AC$ ) có $I, J, M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, AC, BC$ . Gọi $D$ là giao điểm của hai đường tròn $(I; IA)$ và $(J; JA)$ , với $D$ khác $A$ .

1)
Chứng minh tứ giác $AIMJ$ là hình bình hành và ba điểm $B, D, C$ thẳng hàng.
2)
Tiếp tuyến của $(I; IA)$ tại $A$ cắt đường thẳng $MJ$ tại điểm $K$ và cắt $(J; JA)$ tại điểm $P$ , với $P$ khác $A$ . Tiếp tuyến của $(J; JA)$ tại $A$ cắt $(I; IA)$ tại điểm $Q$ , với $Q$ khác $A$ . Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $D$ . Chứng minh tứ giác $ADMK$ nội tiếp đường tròn và $\widehat{PAQ} + \widehat{PEQ} = 180^{\circ}$ .
3)
Gọi $S$ và $T$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $PQ$ với hai đường thẳng $BC$ và $AD$ . Chứng minh $TP.SQ = TQ.SP$ .