Đề khảo sát vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025–2026 — Trường THPT chuyên Thái Nguyên

Cho biểu thức $S = \left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} - 3}\right) : \left(2 + \dfrac{3}{\sqrt{x} - 1}\right)$

Bạn Ân thực hiện một thí nghiệm: Gieo một con xúc sắc có sáu mặt cân đối, đồng chất hai lần liên tiếp.

Tìm tất cả các số nguyên $n$ để biểu thức $A = n^4 + 2n^3 + 4n^2 + 2n + 3$ là số chính phương.

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ và $n = \dfrac{4^{2p} - 1}{3}$. Chứng minh rằng $4^{n - 5} - 1$ chia hết cho $3n$.

Cho tập hợp $S = \{1; 2; \ldots; 4.048\}$. Chứng minh rằng khi chọn $2025$ số bất kì trong tập $S$ ta luôn chọn được $2$ số trong $2025$ số đó mà số này là bội của số kia.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Một tiếp tuyến bất kì của đường tròn $(I)$ tại điểm $P$ cắt hai đoạn thẳng $AB, AC$ lần lượt tại $F, E$ ($E$ khác $A$ và $C$, $F$ khác $A$ và $B$). Hạ $EK, FL$ cùng vuông góc với $BC$ $(K, L \in BC)$. Gọi $FK$ cắt $LE$ tại điểm $J$. Hạ $JH$ vuông góc với $BC$ $(H \in BC)$.