Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 — Sở GD&ĐT Đà Nẵng

Câu 1

1,5 điểm

Cho biểu thức $A = \left(\dfrac{x - 1}{x - 3\sqrt{x} + 2} - \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 14}{x + \sqrt{x} - 6} + \dfrac{x - 4\sqrt{x}}{x + 3\sqrt{x}}\right)\cdot\left(x - 2\sqrt{x}\right)$ với $x > 0$ , $x \ne 1$ và $x \ne 4$ . Rút gọn biểu thức $A$ và tính giá trị của $A$ khi $x$ là tổng của 45 số tự nhiên lẻ đầu tiên.

Câu 2

1,5 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho các điểm $A(5;0)$ , $B(5;5)$ , $C(0;5)$ , với $O$ là gốc tọa độ. Bạn An chọn ngẫu nhiên một điểm $M$ có hoành độ và tung độ là các số nguyên, nằm trên các cạnh hoặc nằm trong hình vuông $OABC$ .

a)
Mô tả không gian mẫu của phép thử trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
b)
Tính xác suất của biến cố $A$ : “Bạn An chọn được điểm $M$ sao cho diện tích hình vuông $OABC$ nhỏ hơn 5 lần diện tích tam giác $OAM$ ”.

Câu 3

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $3(4x^2 - 1) = x\left(2\sqrt[3]{x^2 + 3x} + 1\right)$ .
b)
Trong một đợt thử nghiệm giải toán bằng phần mềm trí tuệ nhân tạo (AI), tổng số câu hỏi mà hai phần mềm C và D phải trả lời là 200 câu hỏi. Kết quả cho thấy: phần mềm C trả lời đúng 90 câu, phần mềm D trả lời đúng 85 câu và tỉ lệ trả lời đúng của phần mềm C cao hơn $5\%$ so với tỉ lệ trả lời đúng của phần mềm D. Tính số câu hỏi mà mỗi phần mềm đã trả lời.

Câu 4

1,5 điểm

a)
Cho phương trình $4x^2 - 8(m + 1)x - 2m - 9 = 0$ , với $m$ là tham số. Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn:

$2|x_1 - x_2| \ge \sqrt{3}(1 + 2x_1)(1 + 2x_2) + 8\sqrt{3}.$
b)
Xét các số nguyên $x, y, z$ và số nguyên dương $n$ thỏa mãn: $2x^2 + 10xy + 13y^2 = 29^n z$ . Chứng minh rằng luôn biểu diễn được $z$ dưới dạng tổng hai bình phương của hai số nguyên.

Câu 5

2,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ . Hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $M$ . Các đường thẳng $EF$ và $MB$ cắt nhau tại $N$ . Gọi $K$ là trung điểm $BC$ . Chứng minh rằng:

a)
Đường thẳng $BN$ song song với đường thẳng $DF$ .
b)
Ba đường thẳng $DE, KN, HM$ đồng quy.

Câu 6

1,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$ . Các tia $AI, BI$ và $CI$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $D, E$ và $F$ .

a)
Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AI$ .
b)
Đường thẳng $AB$ cắt các cạnh $FE$ và $FD$ lần lượt tại $G$ và $H$ , đường thẳng $BC$ cắt các cạnh $DF$ và $DE$ lần lượt tại $M$ và $N$ , đường thẳng $CA$ cắt các cạnh $ED$ và $EF$ lần lượt tại $P$ và $Q$ . Chứng minh rằng $\sqrt{AB + BC + CA} = \sqrt{GH} + \sqrt{MN} + \sqrt{PQ}$ .