Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An

Câu 1

6,0 điểm

a)
Giải phương trình $x^4 - 6x^2 - 20x - 24 = 0$ .
b)
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} y^2 - (y + 2)x^2 + y - 2 = 0 \\ (2 - x)(3y - 4x + 4) = 2(2y + 1)\sqrt{2y + 1}. \end{array} \right.$

Câu 2

3,0 điểm

a)
Cho $x, y, z$ là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức $xy - yz - zx = 3$ . Chứng minh $A = (x^2 - 2xz - 3)(y^2 - 2yz - 3)(-z^2 - 3)$ là một số chính phương.
b)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình $3x^3 + 73xy + 2025 = 3y^3$

Câu 3

2,0 điểm

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $8$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a + b - c} + \dfrac{1}{a + c - b} + \dfrac{1}{b + c - a} = \dfrac{5}{4}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{(4 - a)^2}{(4 - b)(4 - c)} + \dfrac{(4 - b)^2}{(4 - c)(4 - a)} + \dfrac{(4 - c)^2}{(4 - a)(4 - b)}$ .

Câu 4

7,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < BC < CA$ , nội tiếp đường tròn $(O)$ . Các đường cao $AD, BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ . Tia $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $G$ , tia $GE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $I$ ( $G$ khác $A$ và $I$ khác $G$ ). Gọi $J$ là giao điểm của $BI$ và $EF$ , $K$ là giao điểm của $OA$ và $EF$ .

a)
Chứng minh $HF.CE.BC = HC.BF.EF$ .
b)
Chứng minh $JE = JF$ và $HJ // DK$ .
c)
Gọi $P$ là điểm đối xứng với $O$ qua đường thẳng $CF$ , $Q$ là điểm đối xứng với $O$ qua đường thẳng $BE$ và $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ . Chứng minh $NJ \perp EF$ .

Câu 5

2,0 điểm

Cho lục giác đều có cạnh bằng $6\text{cm}$ . Hỏi có thể đặt vào trong lục giác đó $7$ hình tròn có bán kính bằng $2\text{cm}$ , sao cho bất kì hai hình tròn nào trong $7$ hình tròn đó không có điểm trong chung?