Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Thái Bình

Câu 1

2,0 điểm

1)
Cho $x$ là số thực dương thỏa mãn $\frac{x^{3}+1}{x}=18\sqrt{x}$ . Tính $A=\frac{x^{2}+1}{x}$ .
2)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c+\sqrt{abc}=4$ .

Rút gọn biểu thức: $A=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$ .

Câu 2

2,5 điểm

1)
Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x^{2}+5x-1}=(x+2)\sqrt{2}$ .
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^{2}+y^{2}-2x-2=0 \\ 4x^{2}-2y^{2}-2xy+6x-3y+2=0 \end{cases}$

Câu 3

3,5 điểm

Cho đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$ . Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt đường thẳng $EF$ tại $K$ . Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $DI$ và đường thẳng $EF$ , $N$ là giao điểm của đường thẳng $IA$ và đường thẳng $EF$ . Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $BC$ và đường thẳng $IK$ lần lượt tại $M$ và $P$ .

1)
Chứng minh $ANPK$ là tứ giác nội tiếp.
2)
Chứng minh $ID$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PDK$ .
3)
Đường thẳng $BI$ cắt đường thẳng $EF$ tại $R$ . Đường thẳng $IM$ cắt đường thẳng $DK$ tại điểm $T$ và đường thẳng $RC$ cắt đường thẳng $DK$ tại điểm $U$ . Chứng minh bốn điểm $I,T,U,R$ nằm trên một đường tròn.

Câu 4

1,0 điểm

Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{(a+b)^{2}+4a}{ab}$ là số nguyên. Biết $b$ là số lẻ. Chứng minh rằng $a$ là số chính phương.

Câu 5

1,0 điểm

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a+2}{(a+1)^{2}}+\frac{b+2}{(b+1)^{2}}+\frac{c+2}{(c+1)^{2}}\ge \frac{9}{4}.$