Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Đồng Tháp

Câu 1

2,0 điểm

Với hai số thực $a \ge b > 0$ và biểu thức

B = \left( \frac{1}{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}} + \frac{1}{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}} \right) \cdot \frac{a + b^2}{\sqrt{a+b}}

a)
Rút gọn biểu thức $B$
b)
Khi $a = 2$ , tìm tất cả các số nguyên $b$ để $B$ nhận giá trị nguyên.

Câu 2

3,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{x^2 - 4x + 20} = 2 - 3x$
b)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2 + y^2 + 4y = 1 \\ 3x + xy + y = 3 \end{cases}$
c)
Cho phương trình $x^2 - mx + 5m - 1 = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa $x_1 + 2x_2 = 1$ .

Câu 3

1,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $H$ là trung điểm của $BC$ và $AB = 4$ cm. Gọi $M, N$ là hai điểm lần lượt thuộc cạnh $AB, AC$ sao cho $AM = CN = 1$ cm. Tính độ dài $MN$ và diện tích tam giác $MHN$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ có đường cao $AH$ và nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$ , $D$ là giao điểm của $OH$ và $(O')$ ( $D$ khác $O$ ).

a)
Chứng minh rằng $OH \cdot OD = OB^2$ .
b)
Chứng minh rằng $\widehat{OAH} = \widehat{ADH}$ .
c)
Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $(O')$ ( $E$ thuộc cung nhỏ $OB$ và khác với $O, B$ ). Tính số đo góc $\widehat{AOE}$ .

Câu 5

1,0 điểm

Trong giải bóng đá B-League có $n$ đội tham gia, thi đấu vòng tròn một lượt (mỗi đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một lần). Ở mỗi trận thắng – thua, đội thắng được 3 điểm và đội thua không được điểm. Ở mỗi trận hòa, mỗi đội được 1 điểm. Kết thúc giải, người ta thống kê thấy rằng số trận thắng – thua gấp 3 lần số trận hòa và tổng số điểm của tất cả các đội là 330. Tìm số trận hòa và số đội tham gia giải bóng B-League.