Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG TP HCM

Câu 1

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^3 + z^3 = y \\ y^3 + x^3 = z \\ z^3 + y^3 = x \end{cases}$
2)
Cho hai số nguyên dương $a, b$ phân biệt. Chứng minh phương trình sau có đúng ba nghiệm
$(\sqrt{x} - 1)\left[x^2 - 2(a + b)x + ab + 2\right] = 0.$

Câu 2

1,5 điểm

Cho ba số thực $a, b, c$ không âm thỏa mãn: $a^2 + b^2 + c^2 + 3 = 2(ab + bc + ca)$ . Chứng minh

3 \le a + b + c \le \frac{2(ab + bc + ca) + 3}{3}.

Câu 3

2,0 điểm

Với mỗi số tự nhiên $n$ , đặt $a_n = (2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n$ .

a)
Chứng minh $a_{n+2} = 4a_{n+1} - a_n$ với mọi $n = 0,1,2,\dots$ .
b)
Tìm $n$ để $a_n$ chia hết cho $4$ .
c)
Tìm $n$ để $a_n$ chia hết cho $14$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có tam giác $ABD$ là tam giác nhọn và đường chéo $AC$ đi qua tâm $O$ của đường tròn $(O)$ . Gọi $I$ là trung điểm $BD$ , $H$ là trực tâm của tam giác $ABD$ , $E$ là giao điểm khác $A$ của $AI$ với $(O)$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AI$ .

a)
Chứng minh $CEHK$ là hình bình hành và $IB^2 = ID^2 = IA \cdot IK$ .
b)
Lấy điểm $F$ trên cung nhỏ $\widehat{BD}$ của đường tròn $(O)$ sao cho $\widehat{BAF} = \widehat{DAI}$ . Chứng minh các điểm $K$ và $F$ đối xứng nhau qua đường thẳng $BD$ .
c)
Chứng minh các đường phân giác trong các góc $\widehat{BAD}$ và $\widehat{BKD}$ cắt nhau trên $BD$ .
d)
Trên đường thẳng qua $H$ và song song $AC$ lấy điểm $T$ sao cho $TH = TK$ . Chứng minh các điểm $O, K, F, T$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 5

1,5 điểm

Cho các số nguyên dương $a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_{30} < a_{31}$ . Người ta ghi tất cả các số này lên $31$ chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.

a)
Biết rằng tổng các số được ghi trên $16$ thẻ bất kỳ trong số $31$ thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên $15$ thẻ còn lại. Chứng minh $a_1 \ge 226$ .
b)
Lấy $a_1, a_2, \dots, a_{31}$ là $31$ số nguyên dương đầu tiên: $1,2,\dots,31$ . Người ta bỏ $31$ thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thì thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.