Đề khảo sát Toán vào lớp 10 chuyên năm 2024 — Trường THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa

Câu 1

a)
Cho $x, y$ là các số hữu tỉ dương thỏa mãn $x^2 + y^2 + \left(\dfrac{xy+1}{x+y}\right)^2 = 2$ , chứng minh $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ.
b)
Cho biểu thức $P(x) = \sqrt{x^8 - 12x +12} + 3x$ . Gọi $x_0$ là một nghiệm của phương trình $x^2 + x - 1 = 0$ . Tính giá trị $P(x_0)$ .

Câu 2

a)
Giải phương trình: $\sqrt{3x-2} + \sqrt{5x-1} = x^2 - x + 3$ .
b)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3(3+2y) = 8 \\ xy(y^2+3y+3) = 4. \end{cases}$

Câu 3

a)
Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $5(x^2+xy+y^2)=7(x+2y)$ .
b)
Cho $n$ là số nguyên dương và $d$ là ước dương của $2n^2$ , chứng minh $n^2+d$ không phải là số chính phương.

Câu 4

Tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , đường cao $AH$ $(H \in BC)$ . Gọi $K, L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $H$ trên các cạnh $AB, AC$ . Đường thẳng $KL$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $P, Q$ ( $P$ và $B$ cùng phía đối với $AC$ ).

a)
Chứng minh tứ giác $BKLC$ nội tiếp đường tròn.
b)
Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PHQ$ .
c)
$AH$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại $T$ $(T \neq A)$ . Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $KL$ ; $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$ $(M \neq A)$ . Chứng minh $\widehat{HMT}=90^0$ .

Câu 5

Chứng minh rằng từ 6 số vô tỉ tùy ý ta có thể chọn được 3 số $a, b, c$ sao cho cả 3 số $a+b, b+c, c+a$ đều là số vô tỉ. Bài toán còn đúng không nếu ban đầu là 4 số?