Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Nam Định

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho $x, y > 1$ thỏa mãn $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} = \frac{5}{xy+4}$ . Tính giá trị của biểu thức $A = x^3 + y^3 + 9xy$ .
b)
Xét đa thức $P(x) = x^2 + ax + b$ với $a, b$ là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu $P(1+\sqrt{2}) = 2024$ thì $P(1-\sqrt{2}) = 2024$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $x^2 = (2x-9)(\sqrt{x^2+2x-8} - 2)$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^2(x-y) + (y-1)^2 = 0 \\ 4x^3 - 9x^2 + 7x + 3y^2 - 10y + 5 = 0 \end{cases}$

Câu 3

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $AB < AC$ . Ba đường cao của tam giác $ABC$ là $AD, BE, CF$ đồng quy tại điểm $H$ . Gọi $AQ$ là đường kính của đường tròn $(O)$ , đường thẳng $HQ$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $M$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $N$ và cắt đường thẳng $AM$ tại điểm $K$ ( $N, K$ khác $A$ ), đường thẳng $AN$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $P$ . Chứng minh rằng:

a)
$HQ$ vuông góc với $AN$ và $\widehat{FDH} = \widehat{HDE}$ , $\widehat{FDK} = \widehat{NDE}$ .
b)
Ba điểm $P, E, F$ thẳng hàng.
c)
$PE.PF < PM^2$ .

Câu 4

1,5 điểm

a)
Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$ , số $n^5 - 6n + 33$ không là số chính phương.
b)
Cho các số nguyên dương $a, b$ thỏa mãn điều kiện $a+b+1$ là ước nguyên tố của $4(a^2+ab+b^2)-3$ . Chứng minh rằng $a+b-1$ là ước của $4(a^2+ab+b^2)-3$ .

Câu 5

1,5 điểm

a)
Xét $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy + yz + zx \le xyz$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = xy^2 + yz^2 + zx^2 - 18(x+y+z)$ .
b)
Cho bảng hình chữ nhật gồm 2 dòng và $n$ cột, được chia đều thành $2n$ ô vuông đơn vị. Ban đầu, trong mỗi ô vuông đơn vị người ta đặt đúng một viên bi có kích thước rất nhỏ. Ta gọi mỗi biến đổi (T) là việc thực hiện các thao tác sau: Chọn ra hai ô vuông đơn vị tùy ý có chứa bi, chuyển từ mỗi ô vuông đó đi một viên bi sang ô vuông đơn vị liền kề (hai ô vuông đơn vị gọi là liền kề nếu chúng có chung cạnh). Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để sau hữu hạn lần chỉ thực hiện biến đổi (T), ta có thể đưa hết tất cả các viên bi có trên bảng lúc đầu về nằm trong cùng một ô vuông đơn vị của bảng.