Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Lai Châu

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức $A = \left( \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \dfrac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} \right) : \dfrac{2x - 4\sqrt{x} + 2}{x - 1}$ (với $x > 0, x \neq 1$ )

a)
Rút gọn biểu thức $A$ .
b)
Tìm các số nguyên $x$ để biểu thức $A$ có giá trị nguyên.

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{3x+1} + \sqrt{2-x} = 3$ .
b)
Tìm $m$ để phương trình $x^{2} + 2x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $3x_{1} + 2x_{2} = 1$ .

Câu 3

2,0 điểm

a)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $(x+1)(y+1) = 6$ .
b)
Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $(2n+1)^{3} + 1$ chia hết cho $2^{2024}$ .
c)
Cho các số thực $a, b, c$ thay đổi, chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge ab + bc + ca$ .
d)
Cho các số thực: $b_{1} \ge b_{2} > 0$ ; $a_{1} \ge b_{1}$ ; $a_{1}a_{2} \ge b_{1}b_{2}$ . Chứng minh rằng: $a_{1} + a_{2} \ge b_{1} + b_{2}$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho $A, B$ là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm $O$ , bán kính $R = 2$ . Giả sử $C$ là điểm cố định trên tia đối của tia $BA$ sao cho $CO = 4$ . Một cát tuyến thay đổi qua $C$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$ và $E$ ( $D$ nằm giữa $C, E$ ).

a)
Chứng minh rằng: $CD.CE = 12$ .
b)
Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BCD$ và $ACE$ cắt nhau tại giao điểm thứ hai $M$ . Biết rằng bốn điểm $O, B, M, E$ tạo thành tứ giác $OBME$ . Chứng minh rằng: Tứ giác $OBME$ nội tiếp.
c)
Khi $M$ di chuyển, chứng minh rằng: $MO.MC \le 8$ .

Câu 5

1,0 điểm

Anh Nam là một vận động viên chơi cờ. Để luyện tập, mỗi ngày anh chơi ít nhất một ván. Để khỏi mệt, mỗi tuần anh chơi không quá 12 ván. Chứng minh rằng tồn tại một số ngày liên tiếp trong đó anh chơi đúng 20 ván.