Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế

Câu 1

1,5 điểm

a)
Cho biểu thức $A = \dfrac{15\sqrt{x} - 11}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{3\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$ .

Rút gọn biểu thức $A$ và tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $A < -\dfrac{8}{5}$ .
b)
Cho $a, b$ là các số hữu tỉ. Chứng minh $\sqrt{(a^2 + b^2)(a - b)^2 + a^2b^2}$ là số hữu tỉ.

Câu 2

1,5 điểm

a)
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^2 - 4mx - 3 = 0$ có hai nghiệm nguyên phân biệt.
b)
Cho $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^3 = 2b^4 + a^2b$ . Chứng minh $a$ chia hết cho $b$ .

Câu 3

2,0 điểm

a)
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p; q)$ sao cho $p^2 + q^2 + 4pq + 52$ là số chính phương.
b)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ sao cho $5^x - 1 = 4y^4$ .

Câu 4

1,0 điểm

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 4$ .

a)
Chứng minh $4ab + ac + bc \ge 4abc$ .
b)
Chứng minh $\dfrac{2a}{4a + bc} + \dfrac{2b}{4b + ac} + \dfrac{3c}{4c + ab} \le \dfrac{4}{3}$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho một bảng $4 \times 5$ ô vuông gồm 4 hàng và 5 cột (như hình vẽ bên). Ta ghi các số tự nhiên từ 1 đến 20 vào các ô, mỗi ô chứa đúng một số và các số ở mỗi ô là khác nhau. Gọi $d_i$ với $i \in \{1; 2; 3; 4\}$ là hiệu của số lớn nhất và số nhỏ nhất ở hàng thứ $i$ . Gọi $D$ là giá trị lớn nhất trong các giá trị $d_1, d_2, d_3, d_4$ . Ta gọi $D$ là “độ lệch” của bảng.

a)
Hãy chỉ ra một cách ghi để $D = 4$ .
b)
Hãy chỉ ra một cách ghi để $d_1 = d_2 = d_3 = d_4 = 5$ .
c)
Với mỗi cách ghi bất kì, ta tiến hành sắp xếp lại các số trong bảng theo quy luật: ở mỗi cột, các số được xếp giảm dần (số trên cùng là lớn nhất, số dưới cùng là nhỏ nhất). Chứng minh sau khi sắp xếp lại thì “độ lệch” của bảng mới không lớn hơn “độ lệch” của bảng cũ.

Câu 6

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $BC < AB < AC$ . Gọi $BD, CE$ là các đường cao, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Trên đoạn thẳng $HC$ lấy điểm $P$ ( $P$ khác $H$ và $C$ ), $M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho tia $BD$ là phân giác của góc $MBP$ . Gọi $N$ là điểm đối xứng với $B$ qua $E$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MHC$ cắt $BM$ tại $K$ ( $K$ khác $M$ ).

a)
Chứng minh $BHKN$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BKP$ .
c)
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ . Chứng minh $I, K, H$ thẳng hàng.