Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{1}{x - 5\sqrt{x} + 6}$ , với $x \ge 0, x \ne 4$ và $x \ne 9$ . Rút gọn biểu thức $A$ và tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $A > -1$ .
b)
Cho parabol $(P): y = -x^2$ và điểm $A$ thuộc $(P)$ có hoành độ bằng $-2$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $B(0; -3)$ , song song với $OA$ ( $O$ là gốc tọa độ) và cắt $(P)$ tại hai điểm $M, N$ . Tìm tọa độ của $M$ và $N$ , biết $M$ có hoành độ âm.

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $x^2 + \sqrt{x^2 + x + 3} = x + 2 + \sqrt{2x + 5}$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 3xy + y^2 + 2x - 10y - 1 = 0 \\ (3xy + y^2)(2x - 1) - 21y^2 = 0 \end{cases}$

Câu 3

2,0 điểm

Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $BAD$ là góc tù, $AB < AD$ và tia phân giác của góc $BAD$ cắt cạnh $BC$ tại $K$ sao cho $CK < AB$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $L$ sao cho $AL = CK$ . Hai đoạn thẳng $AK$ và $CL$ cắt nhau tại $M$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ALM$ cắt đường thẳng $AD$ tại $N$ ( $N$ khác $A$ ).

a)
Chứng minh $AB.NL = AK.NM$ .
b)
Chứng minh $\widehat{CNL} = 90^{\circ}$ .
c)
Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $KL$ , chứng minh $\dfrac{BA}{BL} + \dfrac{BC}{BK} = \dfrac{BD}{BI}$ .

Câu 4

2,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ ( $AB < AC$ ) có $AE$ là đường phân giác ( $E$ thuộc cạnh $BC$ ). Trên đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AE$ lấy điểm $D$ sao cho góc $BCD$ bằng $90^{\circ}$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $F$ sao cho góc $DEF$ bằng $90^{\circ}$ .

a)
Chứng minh tứ giác $ADCE$ nội tiếp đường tròn và $BE^2 = BA.BF$ .
b)
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ , đường thẳng đi qua $E$ và song song với $AC$ cắt cạnh $AB$ tại $P$ . Chứng minh $OP$ vuông góc với $AE$ và điểm $O$ thuộc đường thẳng $BD$ .

Câu 5

2,0 điểm

a)
Cho ba số tự nhiên $a, b, c$ thỏa mãn $a > 1, b > c > 1$ và $abc + 1$ chia hết cho $ab - b + 1$ . Chứng minh $b$ chia hết cho $a$ .
b)
Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\dfrac{x - 1}{x + 3} + \dfrac{y - 1}{y + 4} \ge \dfrac{6}{z + 5}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (2x + 2)(2y + 3)(2z + 4)$ .