Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Hưng Yên

Câu I

2,0 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3} - \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{6}{\sqrt{x}+3} + 1$ với $x \ge 0, x \ne 1$ .

1)
Rút gọn $A$ .
2)
Tìm $x$ để $(\sqrt{x}+3)A = 10\sqrt{x}$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d): y = -2x+3$ và Parabol $(P): y = x^{2}$ . Tìm tọa độ các giao điểm của $(d)$ và $(P)$ .
2)
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình $x^{2} - 2y(x-y) = 2-2x$ .

Câu III

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $x^{2}+x+2-(x+2)\sqrt{x^{2}-x+2}=0$ .
2)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^{2}+y^{2}=5 \\ x^{3}+2y^{3}=10x+10y \end{cases}$

Câu IV

3,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ $(BC > AB)$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ , đường kính $AC = 2R$ . Kẻ dây cung $BD$ vuông góc với $AC$ , $H$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Trên $HC$ lấy điểm $E$ sao cho $E$ đối xứng với $A$ qua $H$ . Đường tròn tâm $O'$ đường kính $EC$ cắt đoạn $BC$ tại $I$ ( $I$ khác $C$ ).
1. a)
  Chứng minh $HI$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $EC$ .
2. b)
  Khi điểm $B$ thay đổi thì điểm $H$ cũng thay đổi. Tìm vị trí của điểm $H$ trên đoạn $AC$ để diện tích tam giác $O'IH$ là lớn nhất.
2)
Một xô bằng tôn dạng hình nón cụt (giả sử mép không đáng kể, đáy nhỏ bịt tôn) có các bán kính đáy là $17$ (cm) và $10$ (cm), chiều cao $24$ (cm). Tính diện tích tôn để làm xô.

Câu V

1,0 điểm

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $\begin{cases} a > 0, b > 0, c \ge 2009 \\ a+b+c=2025 \end{cases}$

.

Tìm giá trị lớn nhất của $P = abc$ .