Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương

Câu 1

2,0 điểm

1)
Cho biểu thức $A = \left[\dfrac{2x-1+\sqrt{x}}{1-x} + \dfrac{2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+1}\right] \cdot \dfrac{(x-\sqrt{x})(1-\sqrt{x})}{2\sqrt{x}-1} - 1$ , với $x \ge 0, x \ne 1, x \ne \dfrac{1}{4}$ .

Tìm các giá trị của $x$ sao cho $A < \dfrac{-1}{7}$ .
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c+2\sqrt{abc}=1$ . Tính giá trị biểu thức
$P = \sqrt{a(1-b)(1-c)} + \sqrt{b(1-c)(1-a)} + \sqrt{c(1-a)(1-b)} - \sqrt{abc} + 2024$

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} x^{3}+3x^{2}+4x+2 = y^{3}+y \\ 4x+6\sqrt{x-1}+7 = (4x-1)y \end{cases}$
2)
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y+z = 0$ . Chứng minh rằng:
$\dfrac{2x-1}{x^{2}+2} + \dfrac{2y-1}{y^{2}+2} + \dfrac{2z-1}{z^{2}+2} \ge \dfrac{-3}{2}.$

Câu 3

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $(x^{2}-x-1)(y^{2}+xy-9)=2x+1$ .
2)
Cho số nguyên tố lẻ $p$ và số nguyên dương $a$ thỏa mãn: $a^{p}-1$ chia hết cho $p^{3}$ . Chứng minh rằng $a-1$ chia hết cho $p^{2}$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ cố định và điểm $A$ cố định trên $(O)$ , các điểm $B, C$ thay đổi trên $(O)$ sao cho $B, C$ không trùng $A$ và $AC < BC$ . Điểm $M$ trên đoạn $BC$ sao cho $\widehat{MAC} = \widehat{ABC}$ . Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $BI$ cắt $AC$ tại $D$ . Gọi $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MAC$ .

1)
Chứng minh rằng hai tam giác $CJM$ và $CIA$ đồng dạng.
2)
Gọi $P$ là giao điểm khác $I$ của đường thẳng $CI$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $AID$ , đường thẳng $PM$ cắt đường thẳng $JD$ tại $N$ . Chứng minh rằng bốn điểm $N, M, J, C$ thuộc một đường tròn.
3)
Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNC$ . Chứng minh khi $B, C$ thay đổi trên $(O)$ thì $T$ luôn thuộc một đường cố định.

Câu 5

1,0 điểm

Cho bảng vuông $7 \times 7$ gồm 49 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Có 37 con robot được đặt vào tâm của các ô vuông đơn vị sao cho không có 2 con robot cùng nằm trong một ô. Các con robot được lập trình để di chuyển đồng loạt, với cùng tốc độ theo nguyên tắc như sau: Ban đầu, mỗi con đều di chuyển sang tâm của một ô vuông đơn vị bất kỳ chung cạnh với ô vuông nó đang đứng. Sau đó, mỗi khi chạm vào tâm của ô vuông đến, nó sẽ quay một góc $90^{0}$ và di chuyển tiếp theo hướng đó sang tâm của ô tiếp theo và cứ tiếp tục di chuyển như thế (một ví dụ về cách di chuyển của một con robot như hình vẽ). Chứng minh rằng dù ban đầu có đặt các con robot như thế nào thì vẫn luôn có một thời điểm mà có hai con robot ở chung một ô vuông.

Bảng vuông 7x7 và ví dụ về cách di chuyển của robot