Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Lào Cai

Câu 1

2,0 điểm

a)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}$ , với $x \geq 0; x \neq 9$
b)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca} = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = 2023\dfrac{a^{2023}}{b^{2023}} + 2024\dfrac{b^{2024}}{c^{2024}} + 2025\dfrac{c^{2025}}{a^{2025}}$

Câu 2

0,5 điểm

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $S$ . Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho 7.

Câu 3

1,0 điểm

Một cửa hàng bán gạo trong 4 ngày liên tiếp và mỗi ngày (kể từ ngày đầu tiên) lượng gạo bán ra bằng $r\%$ lượng gạo còn lại của ngày hôm trước. Tính $r$ biết rằng lượng gạo còn lại sau ngày thứ tư bằng $\dfrac{1}{16}$ lượng gạo ban đầu.

Câu 4

1,0 điểm

a)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^{2} + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + ac} + \dfrac{1}{c^{2} + ba} \leq \dfrac{a + b + c}{2abc}$
b)
Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $xy \geq 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1} + \frac{1}{xy + 1}.$

Câu 5

1,0 điểm

a)
Cho $x, y$ là các số nguyên dương sao cho $x^{2} + 2y$ là số chính phương. Chứng minh rằng $x^{2} + y$ là tổng của 2 số chính phương.
b)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn
$(x^{2} + 1)(y^{2} + 1) + 2(x - y)(1 - xy) = 4(1 + xy).$

Câu 6

1,0 điểm

Cho 2 phương trình: $2x^{2} + x - m^{2} + 2m - 15 = 0$ (1) và $2x^{2} + 3x - m^{2} + 2m - 14 = 0$ (2). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt $x_{3}, x_{4}$ thỏa mãn: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 3x_{2}x_{3}$ .

Câu 7

3,5 điểm

Cho nửa đường tròn $(O; R)$ đường kính $AB$ . Gọi $M$ là một điểm thuộc nửa đường tròn đã cho ( $M$ khác $A$ và $B$ ), $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$ . Đường thẳng qua $O$ và song song với $MA$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $K$ .

a)
Chứng minh rằng tứ giác $OBKM$ nội tiếp.
b)
Gọi $C, D$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên các đường thẳng $MA$ và $MB$ . Gọi $I$ là giao điểm của $AK$ với $MH$ . Chứng minh rằng $I$ là trung điểm $CD$ .
c)
Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AH$ và $BH$ . Xác định vị trí của điểm $M$ để diện tích tứ giác $CDFE$ đạt giá trị lớn nhất.