Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2024 — Sở GD&ĐT Quảng Trị

Câu 1

1,5 điểm

Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \dfrac{\sqrt{a} - 4\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - 2\sqrt{b}} - \dfrac{b}{a - 4b}\right)$ , với $a$ và $b$ là các số thực dương thoả mãn $a \neq 4b$ .

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tính giá trị của $P$ khi $a^2 + b^2 = 14ab$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \dfrac{3}{2x - y} + \dfrac{10}{\sqrt{x + 3y}} = 5 \\ \dfrac{9 - 2x + y}{2x - y} - \dfrac{5}{\sqrt{x + 3y}} = 7 \end{cases}$
2)
Giải phương trình $\dfrac{5x}{x^2 + 3} + \dfrac{2x^2 - x + 6}{x^2 - 2x + 3} = 4$ .

Câu 3

1,5 điểm

a)
Chứng minh rằng $\sqrt{2(x^2 - 1)} \leqslant \dfrac{3x - 1}{2}$ , với $x \geqslant 1$ .
b)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{1 - \dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{y^2}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{z^2}}$ , với $x, y, z$ là các số thực không nhỏ hơn $1$ và thoả mãn $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{xyz}$ .

Câu 4

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả các số có hai chữ số $\overline{ab}$ sao cho $\overline{ab} + \overline{ba}$ là số chính phương.
2)
Cho hai đống sỏi, $A$ và $B$ . Nếu chuyển $100$ viên sỏi từ đống $A$ sang đống $B$ thì số sỏi ở đống $B$ gấp đôi số sỏi ở đống $A$ . Còn nếu chuyển một số viên sỏi từ đống $B$ sang đống $A$ thì số sỏi ở đống $A$ gấp $6$ lần số sỏi ở đống $B$ . Hỏi đống $A$ có ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

Câu 5

3,0 điểm

Trên đường tròn đường kính $AB$ , lấy các điểm $C$ và $D$ sao cho $BC = BD < \dfrac{1}{2}AB$ . Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua đường thẳng $BC$ , $AE$ cắt tia $CB$ tại $F$ , cắt đường tròn $(B, BC)$ tại $H$ $(H \neq E)$ , $CH$ cắt $AB$ tại $I$ .

a)
Chứng minh $DC$ là tia phân giác của góc $\widehat{ADE}$ .
b)
Chứng minh năm điểm $B, D, F, H$ và $I$ cùng nằm trên một đường tròn.
c)
$AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFDH$ tại $J$ $(J \neq D)$ , $JF$ cắt $CD$ tại $K$ . Chứng minh $DH$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $JK$ .