Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2024 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Câu I

3,5 điểm

1)
Giải phương trình
$\frac{1}{\sqrt{5x^2+10x+30}}+\frac{1}{3\sqrt{x^2-2x+6}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{x^4+8x^2+36}}.$
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)(3+xy)=8,\\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{2y}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5. \end{cases}$

Câu II

2,5 điểm

1)
Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn hệ phương trình
$\begin{cases} 27x^3+27x^2+10y=(x+3z)^3,\\ 27y^3+27y^2+10x=(y+3z)^3. \end{cases}$
2)
Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
$(a+2)b^2+(b+2)c^2+(c+2)a^2 \ge 8+abc.$
Chứng minh rằng
$2(ab+bc+ca) \le a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a).$

Câu III

3,0 điểm

Cho hình vuông $ABCD$ . Lấy điểm $P$ thuộc cạnh $AB$ ( $P$ khác $A$ và $B$ ). Gọi $J$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $PAD$ .

1)
Chứng minh rằng tứ giác $PJDB$ nội tiếp.
2)
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $PJD$ , $S$ là giao điểm của $JH$ và $AD$ . Chứng minh rằng $SH=SD$ .
3)
Gọi $L$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $PBC$ , $K$ là trực tâm của tam giác $LPC$ . Đường tròn nội tiếp của tam giác $PCD$ tiếp xúc $CD$ tại $E$ . Lấy $F$ thuộc đoạn thẳng $CD$ sao cho $CF=DE$ . Chứng minh rằng tam giác $FHK$ vuông cân.

Câu IV

1,0 điểm

Cho bảng ô vuông kích thước $(2023 \times 2023)$ , ô vuông có kích thước $(1 \times 1)$ được gọi là ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông đơn vị của bảng được tô bằng một trong 2 màu đen hoặc trắng sao cho mỗi ô vuông đơn vị tô màu đen được kề với ít nhất 3 ô vuông đơn vị tô màu trắng (2 ô vuông đơn vị có cạnh chung được gọi là kề nhau). Hỏi số ô vuông đơn vị được tô màu đen nhiều nhất là bao nhiêu?