Đề khảo sát chất lượng Toán 9 tháng 5 năm 2023–2024 — Trường THCS Trưng Vương, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x+7}{\sqrt{x}}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3} + \dfrac{3-5\sqrt{x}}{x-9}$ với $x > 0, x \neq 9$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 1$ .
2)
Rút gọn biểu thức $B$ .
3)
Tìm tất cả giá trị của $x$ để $A.B \le 2$ .

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $340$ mét và độ dài đường chéo bằng $130$ mét. Người ta sử dụng $2,5\%$ diện tích mảnh đất để xây nhà ở. Tính diện tích đất dùng để xây nhà.
2)
Ngày 24/3/2012, Trung tâm Sách kỷ lục Guiness Việt Nam đã công nhận chiếc nón bài thơ xứ Huế lớn nhất Việt Nam được làm ra bởi nghệ nhân Thái Đô cùng cộng sự (làng nghề nón lá Mỹ Lam, Phú Mỹ, Phú Vang, Thừa Thiên - Huế). Chiếc nón có đường kính $2,74m$ , chiều cao $1,6m$ , nặng $30kg$ . Em hãy tính ước lượng diện tích xung quanh của chiếc nón lá đó (lấy $\pi \approx 3,14$ ).

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \dfrac{2}{|y|} - 3\sqrt{x-3} = 1 \\ \dfrac{3}{|y|} + 2\sqrt{x-3} = 8 \end{cases}$
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y = x^{2}$ và đường thẳng $(d): y = mx + 7$ .
1. a)
  Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
2. b)
  Gọi $y_{1}, y_{2}$ là tung độ các giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ . Tìm tất cả giá trị của $m$ để $y_{1}, y_{2}$ là các số chính phương.

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB \le AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ sao cho $MB < MC$ . Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $BC, AB$ và $AC$ .

1)
Chứng minh tứ giác $MDFC$ nội tiếp một đường tròn.
2)
Chứng minh $ME.MC = MF.MB$ và ba điểm $D, E$ và $F$ thẳng hàng.
3)
Chứng minh khi tam giác $ABC$ là tam giác đều thì giá trị biểu thức $\dfrac{MD}{ME} + \dfrac{MD}{MF}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ .

Câu V

0,5 điểm

Với các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b^{2} + c^{3} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = \sqrt{1+3a} + \sqrt{1+3b} + \sqrt{1+3c}