Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2024 — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Câu 1

2,0 điểm

a)
Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức $P = \sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{24}$ .
b)
Cho biểu thức $Q = \left(\dfrac{\sqrt{x} + 1}{x - 4} - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}\right)(\sqrt{x} - 2)$ với $x \ge 0, x \ne 4$ . Rút gọn $Q$ và tìm $x$ để $Q = 1$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - 3y = 5 \end{cases}$

.
b)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $(d): y = ax + b$ . Tìm các hệ số $a, b$ biết $(d)$ có hệ số góc bằng $-2$ và $(d)$ cắt parabol $(P): y = \dfrac{2}{3}x^{2}$ tại điểm $M$ có hoành độ dương và có tung độ bằng $6$ .

Câu 3

2,0 điểm

a)
Giải phương trình $2x - 5\sqrt{x} - 3 = 0$ .
b)
Cho phương trình $x^{2} - x + 2m - 4 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}(x_{2} + 1) = x_{2}^{2}(x_{1} + 1)$ .

Câu 4

3,5 điểm

Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB = 2R$ . Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $OA$ , đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $H$ cắt đường tròn đã cho tại hai điểm $C, D$ . Trên đoạn thẳng $CH$ lấy điểm $N$ ( $N$ khác $C$ và $H$ ), đường thẳng $AN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$ ( $M$ khác $A$ ).

a)
Chứng minh tứ giác $BMNH$ nội tiếp đường tròn.
b)
Chứng minh tam giác $ANC$ đồng dạng với tam giác $ACM$ và tính $AM \cdot AN$ theo $R$ .
c)
Đường thẳng $BN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$ ( $K$ khác $B$ ), gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $MK$ và $AB$ . Chứng minh $\widehat{MKH} = \widehat{MOB}$ và $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $OI$ .

Câu 5

0,5 điểm

Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $(a + 1)(b + 1)(c + 1) = 1 + 37abc$ . Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} \ge 27$ .