Đề thi khảo sát năng lực Toán 9 (vòng 1, đợt 1) năm 2025–2026 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Thời gian: 120 phút
Số câu: 4 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

3,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^2 + y^2 - xy = 3,\\ 2y + xy + 6 = 2y^2 + 4x. \end{cases}$
2)
Giải phương trình
$\left(\sqrt{3x+1} + 2\sqrt{2-x}\right)\left(9 - x + 4\sqrt{5x - 3x^2 + 2}\right) = 64.$

Câu II

3,0 điểm

1)
Tìm $x, y$ nguyên thỏa mãn
$y = \frac{x^2 + x + 1}{x^3 + 2}.$
2)
Với $x, y, z > 0$ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$M = \frac{x + y + z}{\sqrt{x^2 + 2y^2 + xy} + \sqrt{y^2 + 2z^2 + yz} + \sqrt{z^2 + 2x^2 + zx}}.$

Câu III

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $\omega$ . Phân giác $\angle BAC$ cắt lại $\omega$ tại $D$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Lấy $P$ thuộc $\omega$ sao cho $DP \parallel AM$ . Gọi giao điểm thứ hai của $AM$ với $\omega$ là $J$ .

1)
Gọi giao điểm của $AD$ với $PC$ là $Q$ . Chứng minh rằng $\triangle PAQ \sim \triangle JMC$ .
2)
Gọi giao điểm của $AD$ với $PB$ là $R$ . Chứng minh rằng $A$ là trung điểm $QR$ .
3)
Chứng minh rằng $BR = CQ$ .

Câu IV

1,0 điểm

Cho $n \geq 1$ nguyên dương, $a_1, a_2, \ldots, a_n$ là những số nguyên dương. Chứng minh rằng ta có thể tô xanh một số số trong dãy sao cho tổng các số tô xanh chia hết cho $n$ .

HẾT