Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2025 — Sở GD&ĐT Lạng Sơn

Thời gian: 120 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

1,5 điểm

1)
Tính giá trị của biểu thức $A = \sqrt{121} - \sqrt{64}$ ; $B = 1 + \sqrt{\left(2\sqrt{3} - 1\right)^2}$ .
2)
Cho biểu thức: $P = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 1}{3 - \sqrt{x}}$ với $x \ge 0; x \ne 1; x \ne 9$ .
1. a)
  Rút gọn biểu thức $P$ .
2. b)
  Tìm $x$ để $P = \dfrac{1}{3}$ .

Câu 2

1,5 điểm

1)
Trên khu đất của mình, bác Sơn trồng rau trên mảnh vườn hình chữ nhật với tổng chiều dài hàng rào bao quanh là 50 mét (tính cả cửa ra vào vườn). Để mở rộng diện tích trồng rau, bác dự định kéo dài thêm chiều dài mảnh vườn 2 mét và giữ nguyên chiều rộng. Khi đó, chiều dài mới của mảnh vườn sẽ gấp đôi chiều rộng. Tính diện tích mảnh vườn ban đầu của Bác Sơn.
2)
Giải bất phương trình: $2x + (5x + 1) > 3(2x + 3)$ .

Câu 3

1,5 điểm

1)
Lớp 9B của một trường THCS có 40 học sinh. Bảng thống kê sau cho biết số lượng học sinh của lớp 9B theo mức độ cận thị:
${\def\arraystretch{1.4}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Mức độ} & \text{Không cận thị} & \text{Cận thị nhẹ} & \text{Cận thị nặng} \\ \hline \text{Số học sinh} & 20 & 12 & 8 \\ \hline \end{array}}$
Lập bảng tần số tương đối cho bảng thống kê trên.
2)
Tổ 1 của lớp 9A có 4 học sinh nam là An, Bình, Cường, Dũng và 5 học sinh nữ là Hoa, Lan, Mai, Ngọc, Phương. Giáo viên ghi tên từng bạn vào các lá thăm giống nhau, trộn đều rồi rút ngẫu nhiên một lá thăm để chọn ra một bạn tham gia hoạt động trải nghiệm của nhà trường.

Gọi $E$ là biến cố “bạn được chọn là bạn nam”, $F$ là biến cố “bạn được chọn là bạn nữ”.
1. a)
  Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra khi chọn một bạn?
2. b)
  Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố $E$ và $F$ ?
3. c)
  Tính xác suất của mỗi biến cố $E$ và $F$ .

Câu 4

1,5 điểm

1)
Cho hàm số $y = ax^2$ $(a \ne 0)$ có đồ thị là một parabol với đỉnh $O$ như hình bên. Tìm giá trị của $a$ .
2)
Cho phương trình $x^2 - 4x + 1 = 0$ (1)
1. a)
  Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ .
2. b)
  Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $\dfrac{2}{x_2 + 1} + \dfrac{2}{x_1 + 1}$ .

Câu 5

2,0 điểm

1)
Một công nhân đang sử dụng thang nâng để sửa chữa một bảng hiệu trên tòa nhà. Thang nâng có chiều dài 7 mét và tạo một góc $45^{\circ}$ so với phương thẳng đứng. Điểm thấp nhất $P$ của thang nâng cách mặt đất 1,2 mét. Tính chiều cao $h$ từ mặt đất đến điểm $Q$ trên thang nâng, nơi công nhân đang đứng để sửa chữa bảng hiệu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).
2)
Một mái vòm kính có hình dạng nửa hình cầu được đặt trên một tòa nhà, như trong hình. Biết rằng phần đế của nửa hình cầu (phần tiếp xúc với mái nhà) là một hình tròn có đường kính 6 mét. Tính diện tích bề mặt ngoài của vòm kính (lấy $\pi \approx 3,14$ và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét vuông).
3)
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Tại mỗi đỉnh của hình vuông vẽ một cung tròn có tâm tại đỉnh đó và đi qua trung điểm của cạnh hình vuông. Bốn cung tròn này tạo thành một hình được tô đậm ở giữa hình vuông (tham khảo hình vẽ). Hãy tính diện tích phần hình được tô đậm này.
4)
Một nhà thiết kế đang tạo ra chiếc đồng hồ cát bằng thủy tinh với hình dạng của hai hình nón giống hệt nhau được đặt chồng lên nhau như hình vẽ. Mỗi hình nón có bán kính đáy là 4 cm và chiều cao là 12 cm. Biết rằng hình nón phía trên được đổ đầy cát và tốc độ chảy của cát không đổi, nhà thiết kế cần xác định tốc độ chảy của cát để mỗi lần cát chảy hết từ hình nón phía trên xuống hình nón phía dưới mất 10 phút. Em hãy giúp nhà thiết kế tính tốc độ chảy của cát theo đơn vị centimet khối mỗi giây (lấy $\pi \approx 3,14$ , độ dày phần thủy tinh làm đồng hồ không đáng kể).

Câu 6

2,0 điểm

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Trên đường tròn $(O)$ lấy điểm $C$ ( $C$ khác $A$ và $B$ ). Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $M$ .

1)
Chứng minh tứ giác $OAMC$ là tứ giác nội tiếp.
2)
Gọi $H$ là giao điểm của $MO$ và $AC$ . Chứng minh $MO \perp AC$ và $MH.MO = MA^{2}$ .
3)
Gọi $I$ là giao điểm của $MB$ và đường tròn $(O)$ ( $I$ khác $B$ ). Tia $IO$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $K$ . Chứng minh $KC \parallel HI$ .

HẾT