Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán lần 1 năm 2024 — Trường THPT Sơn Tây, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho các biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x}$ và $B = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{x}{x - 4}$ với $x > 0, x \neq 4$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 16$ .
2)
Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ .
3)
Tìm điều kiện của $m$ để phương trình $A.B = m$ có nghiệm.

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi $90\text{ m}$ . Nếu giảm chiều dài đi $4\text{ m}$ và tăng chiều rộng lên $5\text{ m}$ thì diện tích mảnh đất tăng lên $70\text{ m}^2$ . Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật ban đầu.
2)
Khi mặt trời chiếu qua đỉnh ngọn cây thì góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là $52^\circ$ và bóng cây trên mặt đất dài $7\text{ m}$ . Tính chiều cao của cây (kết quả lấy đến hai chữ số của phần thập phân).

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 2\sqrt{x} + \dfrac{3}{y - 1} = 1 \\ 3\sqrt{x} - \dfrac{6}{y - 1} = 5 \end{cases}$
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = mx + 2m - 1$ .
1. a)
  Khi $m = 2$ tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $d$ .
2. b)
  Với giá trị nào của $m$ thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $d$ bằng $2$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB > AC)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ . Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ ; $E, F$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến các đường thẳng $AB, AC$ .

1)
Chứng minh tứ giác $AEMF$ là tứ giác nội tiếp.
2)
Đường thẳng $AM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$ . Chứng minh $\widehat{KBC} = \widehat{MEF}$ và $BC.ME = EF.BK$ .
3)
Đường thẳng $AO$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ . Gọi $J$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$ . Chứng minh $AD \parallel JM$ .

Câu V

0,5 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = ac + bc - 2024ab$ .