Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) lần 2 năm 2024 — Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

a)
Cho các số dương $a, b$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+2} < \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}$ .
b)
Trong một khu vườn nhỏ có 3 con thỏ và 3 cây cà rốt. Mỗi con thỏ sẽ chọn ngẫu nhiên một cây cà rốt để ăn. Tính xác suất để mỗi cây cà rốt được chọn bởi không quá một con thỏ (tức là không có hai con thỏ nào chọn cùng một cây cà rốt).

Câu 2

2,0 điểm

a)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} (x + y)(x^2 + y^2) = 567 \\ \sqrt{xy}(x + y)^2 = 243. \end{cases}$
b)
Cho các số hữu tỉ dương $a, b, c$ thoả mãn điều kiện
$a + b + c = 2\sqrt{abc}.$
Chứng minh rằng, $S = \frac{bc - b - c}{a}$ là bình phương của một số hữu tỉ.

Câu 3

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ , nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$ . Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$ . Đường tròn đường kính $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $K$ (khác $A$ ). Đường thẳng $KD$ cắt lại đường tròn đường kính $AI$ tại điểm thứ hai $P$ (khác $K$ ). Giả sử các đường thẳng $AK$ và $BC$ cắt nhau tại $Q$ . Chứng minh rằng

a)
$\Delta KEC \sim \Delta KFB$ và $KD$ là phân giác của góc $\widehat{BKC}$ .
b)
$AP \perp BC$ .
c)
$IQ$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ .

Câu 4

2,0 điểm

Một số nguyên dương được gọi là số giầu có nếu như tổng tất cả các ước số dương của nó lớn hơn hai lần số đó. Số nguyên dương mà không phải là số số giầu có được gọi là số thiếu thốn. Chứng minh rằng

a)
Có vô số số thiếu thốn.
b)
$N = 6 \cdot 2^n$ là số giầu có với mọi số nguyên dương $n$ .

Câu 5

1,0 điểm

Trên bảng viết $1000$ số nguyên liên tiếp. Trong mỗi lượt di chuyển, ta chia các số đã viết thành các cặp tùy ý, và thay thế mỗi cặp số bằng tổng và hiệu của chúng (không nhất thiết phải trừ số lớn hơn cho số nhỏ hơn; tất cả các phép thay thế diễn ra đồng thời). Hỏi, sau một số hữu hạn lần di chuyển như trên, trên bảng có thể xuất hiện dãy gồm $1000$ số nguyên liên tiếp nữa hay không?

HẾT