Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) lần 1 năm 2026 — Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1

2,5 điểm

a)
Cho các số nguyên $a, b, c$ thoả mãn điều kiện: $a\sqrt{2} + \sqrt{b^2 + c^2} = 2\sqrt{a^2 + \dfrac{b^2 + c^2}{2}}$ . Chứng minh rằng $\dfrac{a^2 + bc}{2}$ là số chính phương.
b)
Trong một trại hè kỹ năng, mỗi thành viên tham gia ít nhất một trong hai hoạt động: hoạt động Âm nhạc hoặc hoạt động Thể thao. Theo thống kê,

$25\%$ số thành viên tham gia hoạt động Thể thao cũng tham gia hoạt động Âm nhạc.

$10\%$ số thành viên tham gia hoạt động Âm nhạc cũng tham gia hoạt động Thể thao.

Tổng số thành viên của trại hè lớn hơn $80$ và nhỏ hơn $100$ .

Tính tổng số thành viên của trại hè.

Câu 2

2,5 điểm

a)
Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho trong bốn số $x + \sqrt{5}$ , $x + \dfrac{4}{x}$ , $x - \dfrac{4}{x}$ và $x^2 + 2\sqrt{5}$ có đúng một số không phải là số hữu tỉ.
b)
Cho các số thực dương $a, b$ . Chứng minh $a + b + \dfrac{1}{4a(b + 1)^2} > 1$ .

Câu 3

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $P$ cố định nằm ngoài đường tròn. Qua $O$ kẻ một đường thẳng $d$ không trùng với $OP$ , cắt $(O)$ tại hai điểm $A, B$ . Giả sử các đường thẳng $PA, PB$ cắt $(O)$ tương ứng tại các điểm thứ hai $B', A'$ . Gọi $C$ và $D$ tương ứng là trực tâm các tam giác $PAB$ và $PA'B'$ . Chứng minh rằng

a)
$\dfrac{DA' + DB'}{CA + CB} = \dfrac{A'B'}{AB}$ .
b)
Khi $d$ thay đổi, điểm $C$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Câu 4

1,0 điểm

Cho các số nguyên dương $a, b$ thoả mãn $|a - b| > 2025^3$ . Với mỗi số nguyên dương $k$ , đặt $d_k$ là ước chung lớn nhất của hai số $a + k, b + k$ . Chứng minh rằng $d_1 + \cdots + d_{2026} < 2|a - b|$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho một bảng kẻ ô vuông $2026 \times 2026$ và một hộp đựng $k$ viên sỏi ( $k$ là số nguyên dương). Gọi $(i, j)$ là ô nằm ở hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ , với $1 \le i, j \le 2026$ (ở đây, ô $(1, 1)$ là ô nằm ở góc trên cùng bên trái).

Ban đầu bảng không có sỏi. Ta được phép lấy từ hộp một viên sỏi đặt vào một ô trống $(i, j)$ nếu ô này thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

• $j = 1$ hoặc ô $(i, j - 1)$ có sỏi.

• $i = 2026$ hoặc ô $(i + 1, j)$ có sỏi.

Ngoài ra, ta được phép lấy một viên sỏi bất kỳ trên bảng rồi bỏ vào hộp. Hỏi giá trị nhỏ nhất của $k$ là bao nhiêu để có thể đạt được trạng thái là ô $(1, 2026)$ có sỏi?