Đề khảo sát năng lực Toán 9 (chuyên) đợt 2 năm 2026 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Thời gian: 150 phút
Số câu: 4 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

3,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình.
$\begin{cases} 3x^2 + 2xy + 3y^2 = \dfrac{16}{x} + \dfrac{11}{y} \\ x^2 - y^2 = \dfrac{11}{y} - \dfrac{16}{x}. \end{cases}$
2)
Giải phương trình
$(x^2 + x + 1)\left(\sqrt[3]{(2x - 1)^2} + \sqrt[3]{2x - 1} + 1\right) = 4.$

Câu II

3,0 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thoả mãn
$x^4 + 4x + 1 = 5^y.$
2)
Với các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất của
$Q = \frac{ab^2}{a^2 + 2b^2 + c^2} + \frac{bc^2}{b^2 + 2c^2 + a^2} + \frac{ca^2}{c^2 + 2a^2 + b^2}.$

Câu III

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp $(O)$ , với trực tâm $H$ , đường cao $AD$ . $M, N, P$ theo thứ tự là trung điểm của $BC, CA, AB$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $HM$ , cắt $BC$ tại $X$ . $AO$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADN$ , $ADP$ lần lượt tại $T, Z$ .

1)
Chứng minh rằng $T$ nằm trên $MN$ và $Z$ nằm trên $MP$ .
2)
Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $T$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADN$ cắt tiếp tuyến tại $Z$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADP$ tại một điểm nằm trên $AD$ .
3)
Chứng minh rằng đường tròn đường kính $MX$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADN$ và $ADP$ .

Câu IV

1,0 điểm

Trong mỗi ô của bảng $2 \times 200$ có đặt một đồng xu. Hai bạn An và Bình chơi một trò chơi, luân phiên thực hiện các nước đi, An bắt đầu trước. Trong một lượt, người chơi chọn bất kỳ một đồng xu nào và di chuyển nó: An di chuyển đồng xu sang một ô chung đỉnh theo đường chéo, Bình di chuyển sang một ô chung cạnh. Nếu hai đồng xu nằm trong cùng một ô, một trong số chúng sẽ ngay lập tức được đưa ra khỏi bảng và thuộc về Bình. Bình có thể dừng trò chơi bất cứ lúc nào và lấy tất cả các đồng xu thu được. Hỏi số xu tối đa mà Bình có thể nhận được là bao nhiêu, bất kể An chơi như thế nào?

HẾT