Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2024 — Phòng GD&ĐT Nam Định

Câu 1

2,0 điểm

1)
Tìm điều kiện xác định của biểu thức $A = \sqrt{x-1} - \dfrac{1}{\sqrt{3-x}-1}$ .
2)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = -2x + m - 1$ cắt đường thẳng $y = 2x + 3$ tại điểm nằm trên trục hoành.
3)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;3\text{cm})$ . Biết $\widehat{B} = 70^{\circ}; \widehat{C} = 50^{\circ}$ ; Tính độ dài cung $BC$ nhỏ.
4)
Một chiếc bình thủy tinh hình trụ có chiều cao $30\text{cm}$ và đường kính đáy $20\text{cm}$ đựng đầy nước. Tính số lít nước đựng trong bình (coi rằng thành bình và đáy bình mỏng).

Câu 2

1,5 điểm

Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1} + \dfrac{1}{\sqrt{x}+4} - \dfrac{3\sqrt{x}+6}{x+5\sqrt{x}+4}\right) \cdot \dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+3}$ với $x \ge 0$ .

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ .

Câu 3

1,5 điểm

1)
Cho phương trình $x^{2} - 2x - m - 1 = 0$ ( $m$ là tham số).
1. a)
  Giải phương trình với $m = 1$ .
2. b)
  Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn $x_{1} = x_{2}^{2} - 2x_{2}$ .
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} (2x-y)(x+y+1) + 4(y+1) = -4x \\ \sqrt{3x-1} + 4(2x+1) = \sqrt{y-1} + 3y \end{cases}$

Câu 4

3,0 điểm

Cho nửa đường tròn $(O;R)$ , đường kính $BC$ , $A$ là điểm bất kì trên nửa đường tròn sao cho $AB > AC$ ; $A$ khác $C$ . Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ . Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB, AC$ .

a)
Chứng minh $AB.AM = AC.AN$ và tứ giác $BCNM$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Đường thẳng $MN$ cắt nửa đường tròn $(O;R)$ tại các điểm $E, F$ ( $E$ thuộc cung $AB$ nhỏ), cắt đoạn thẳng $AO$ tại $D$ . Chứng minh $OA \perp MN$ và $\Delta AEH$ cân.
c)
Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $I$ , $IA$ cắt nửa đường tròn $(O;R)$ tại điểm thứ hai là $K$ ( $K$ khác $A$ ), $KN$ cắt $BC$ tại $Q$ . Chứng minh $QH^{2} = QC.QI$ .

Câu 5