Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 môn Toán chung lần 3 năm 2024 — Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

Câu 1

2,0 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} - \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{2\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}}$ với điều kiện $x \ge 0, x \ne 4, x \ne 9$ .

1.1)
Chứng minh rằng $A = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ .
1.2)
Tìm tất cả các số tự nhiên $x$ thỏa mãn $A < -1$ .

Câu 2

2,0 điểm

2.1)
Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất $0,45\%$ /tháng. Biết rằng, nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Người đó phải gửi số tiền ban đầu ít nhất bao nhiêu triệu đồng để số tiền lãi của tháng thứ hai không ít hơn $500\,000$ đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của triệu đồng).
2.2)
Tìm tất cả các số thực $m$ để hai đồ thị hàm số $y = 2x^2$ và $y = mx + 2$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ thỏa mãn $(y_1 + 2)(y_2 + 2) + 25x_1x_2 = 0$ .

Câu 3

2,0 điểm

3.1)
Giải phương trình $2x^3 + 12x^2 + 30x + 25 = 0$ .
3.2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} xy + 2 + 2x = 3y \\ x^2y^2 + 4 + 2xy = 3y^2 \end{cases}$

Câu 4

3,0 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ và dây cung $BC$ cố định $(BC < 2R)$ . Điểm $A$ chuyển động trên cung lớn $BC$ sao cho $AB < AC$ , tam giác $ABC$ nhọn và không là tam giác cân. Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O; R)$ cắt nhau tại $K$ . Đường thẳng qua điểm $K$ song song với $AB$ cắt cạnh $AC$ tại $I$ . Đoạn thẳng $KI$ cắt đường tròn $(O; R)$ tại $D$ . Chứng minh rằng

4.1)
Tứ giác $KOIC$ nội tiếp một đường tròn.
4.2)
$\widehat{ABC} = \widehat{KOI}$ .
4.3)
Giá trị của biểu thức $IA.IC + IO^2$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $A$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho các số nguyên dương $x, y$ thay đổi thỏa mãn $3x + 4y = 2025$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xy$ .