Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Long Biên, Hà Nội

Câu I

2,0 điểm

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$ và $B=\dfrac{x+4\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+2}$ với $x \geq 0; x \neq 1$ .

1)
Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x=9$ .
2)
Rút gọn biểu thức $A$ .
3)
Tìm các giá trị của $x$ để biểu thức $P=B:A$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu II

2,0 điểm

1)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Khoảng cách giữa hai bến sông $C$ và $D$ là $48\text{ km}$ . Một ca nô đi xuôi dòng từ bến $C$ đến bến $D$ , nghỉ 24 phút rồi đi ngược dòng quay lại bến $C$ . Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến $C$ hết tất cả 4 giờ. Tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là $3\text{ km/h}$ .
2)
Một hình nón có độ dài đường sinh bằng $25\text{ cm}$ và bán kính đáy bằng $15\text{ cm}$ . Tính thể tích của hình nón đó (lấy $\pi \approx 3,14$ ).

Câu III

2,5 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} \sqrt{x}-\dfrac{2}{y}=3 \\ 3\sqrt{x}+\dfrac{4}{y}=14 \end{cases}$
2)
Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho parabol $(P): y=-x^{2}$ và đường thẳng $(d): y=(m+1)x-3$ .
1. a)
  Với giá trị nào của $m$ thì parabol $(P)$ cắt đường thẳng $(d)$ tại hai điểm phân biệt?
2. b)
  Tìm các giá trị của $m$ để parabol $(P)$ cắt đường thẳng $(d)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1}-x_{2}|=4$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ . Kẻ đường cao $AD$ của tam giác $ABC$ . Tia $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $M$ ( $M$ khác $A$ ). Từ điểm $M$ kẻ $ME$ vuông góc với $AC$ tại $E$ . Hai đường thẳng $ED$ và $AB$ cắt nhau tại điểm $I$ .

1)
Chứng minh tứ giác $MDEC$ nội tiếp.
2)
Chứng minh: $MA$ là tia phân giác của $\widehat{BME}$ và $AB.AI=AE.AC$ .
3)
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ABH, \Delta ACH, \Delta BCH$ . Chứng minh $R_{1}=R_{2}=R_{3}$ .

Câu V

0,5 điểm

Giải phương trình $x^{3}+\sqrt{(x+1)^{3}}=9x+8$ .