Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 — Sở GD&ĐT Cà Mau

Câu 1

1,5 điểm

a)
Rút gọn biểu thức: $A = \left(\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{\sqrt{x}+3}{x\sqrt{x}-x-\sqrt{x}+1}\right) \cdot \dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^{2}}{2\sqrt{x}}$ với $x>0, x \neq 1$ .
b)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+c = 2b$ . Tính giá trị của biểu thức $B = \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} - \dfrac{2-\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}$ .

Câu 2

2,5 điểm

a)
Giải phương trình: $x^{2} + 3x + 8 = 4\sqrt{7-x} + 2x\sqrt{4x-3}$ .
b)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c = 6$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \dfrac{a}{\sqrt{b^{3}+1}} + \dfrac{b}{\sqrt{c^{3}+1}} + \dfrac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}$ .

Câu 3

1,0 điểm

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn:

n^{2} + n = p^{2} + p - 12.

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC)$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$ . Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB, AC, BC$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $F$ lên cạnh $DE$ .

a)
Chứng minh rằng tứ giác $BDOF$ nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDOF$ .
b)
Chứng minh $BF \cdot EH = FH \cdot OF$ và $HF$ là tia phân giác của góc $BHC$ .
c)
Gọi $N$ là điểm di động trên cung nhỏ $EF$ của đường tròn $(O)$ . Gọi $P, Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên các đường thẳng $DE$ và $DF$ . Xác định vị trí của điểm $N$ trên cung nhỏ $EF$ để độ dài đoạn thẳng $PQ$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5

2,0 điểm

Tại kỳ thi Trại hè Phương Nam năm 2025, ban tổ chức đã thống kê kết quả điểm thi môn Toán của 100 thí sinh đến từ các trường THPT chuyên và không chuyên ở khu vực phía Nam. Kết quả được trình bày trong bảng tần số ghép nhóm dưới đây:

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm điểm số} & [5;6) & [6;7) & [7;8) & [8;9) & [9;10] \\ \hline \text{Tần số} & 15 & 30 & 45 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}

Căn cứ vào kết quả thi, ban tổ chức xác định mức điểm chuẩn để đạt Huy chương Vàng (HCV) môn Toán là từ 8,0 điểm trở lên. Trong số các thí sinh đạt HCV môn Toán của hội thi, có 4 thí sinh thuộc đơn vị tỉnh Cà Mau.

a)
Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 1 thí sinh trong số các thí sinh đạt HCV môn Toán của hội thi để phỏng vấn. Tính xác suất để thí sinh được chọn không thuộc đơn vị tỉnh Cà Mau.
b)
Trong 4 thí sinh đạt HCV môn Toán của tỉnh Cà Mau, có 2 học sinh thuộc trường THPT Chuyên Bạc Liêu và 2 học sinh thuộc trường THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển. Tại lễ bế mạc, ban tổ chức xếp ngẫu nhiên 4 học sinh này thành một hàng ngang trên sân khấu để nhận giải. Tính xác suất để không có hai học sinh nào cùng trường đứng cạnh nhau.