Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 2 năm 2024 — Trường THPT chuyên Đại học Vinh, Nghệ An

Câu 1

Cho khối trụ có diện tích đáy bằng $1$ , đường cao bằng $5$ . Thể tích khối trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle \frac{5\pi}{4}$
C
$\displaystyle 5\pi$
D
$\displaystyle \frac{5}{4}$

Câu 2

Một nhóm học sinh gồm $5$ nam và $6$ nữ. Số cách chọn ra một cặp nam – nữ từ nhóm học sinh đó là

A
$\displaystyle 11$
B
$\displaystyle 25$
C
$\displaystyle 30$
D
$\displaystyle 15$

Câu 3

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $3f(x) + 1 = 0$ là

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) > 0 trên (−1; 0); f′(x) = 0 tại x = 0; f′(x) < 0 trên (0; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) > 0 trên (1; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1), đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞), đạt cực tiểu tại x = −1 với f(−1) = −1, đạt cực đại tại x = 0 với f(0) = 3, đạt cực tiểu tại x = 1 với f(1) = −1.

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 4

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm là $f'(x) = (2x^2 - 1)(x^2 - 2), \forall x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 2$

Câu 5

Cho khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích bằng $6$ . Thể tích khối chóp $A.B'C'D'$ bằng

A
$\displaystyle \frac{3}{2}$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 1$

Câu 6

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{MO} = (1; -2; 3)$ . Toạ độ của $M$ là

A
$\displaystyle (-1; -2; -3)$
B
$\displaystyle (1; -2; 3)$
C
$\displaystyle (1; 2; 3)$
D
$\displaystyle (-1; 2; -3)$

Câu 7

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha): x + 2y + 3z - 6 = 0$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 1$

Câu 8

Giả sử $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ sao cho $F(1) - G(1) = 2$ . Giá trị của $G(5) - F(5)$ bằng

A
$\displaystyle -2$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle -4$

Câu 9

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý và $\alpha$ là số thực, mệnh đề nào dưới đây sai?

A
$\displaystyle \frac{a^{2\alpha}}{a^{-\alpha}} = a^{3\alpha}$
B
$\displaystyle (ab)^{\alpha} = a^{\alpha}b^{\alpha}$
C
$\displaystyle (a + b)^{\alpha} = a^{\alpha} + b^{\alpha}$
D
$\displaystyle \frac{a^{2\alpha}}{a^{\alpha}} = a^{\alpha}$

Câu 10

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A
$\displaystyle (-\infty; -2)$
B
$\displaystyle (3; +\infty)$
C
$\displaystyle (-2; 0)$
D
$\displaystyle (-1; 3)$

Câu 11

Cho khối nón có chu vi đáy bằng $10\pi$ , đường cao bằng $12$ . Thể tích của khối nón đã cho bằng

A
$\displaystyle 40\pi$
B
$\displaystyle 300\pi$
C
$\displaystyle 100\pi$
D
$\displaystyle 120\pi$

Câu 12

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^{2}} < 16$ chứa bao nhiêu số nguyên?

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 5$

Câu 13

Đồ thị trong hình bên là của một trong $4$ hàm số sau. Đó là hàm số nào?

Đồ thị hàm phân thức với tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=1$

A
$\displaystyle y = \dfrac{x - 2}{x + 1}$
B
$\displaystyle y = \dfrac{x - 1}{x + 2}$
C
$\displaystyle y = \dfrac{x + 1}{x + 2}$
D
$\displaystyle y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$

Câu 14

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2}(x + 1) + \log_{2}(3 - x)$ là

A
$\displaystyle D = (3; +\infty)$
B
$\displaystyle D = (0; 3)$
C
$\displaystyle D = (-\infty; -1)$
D
$\displaystyle D = (-1; 3)$

Câu 15

Mô đun của số phức $z = i(2 - 3i)$ bằng

A
$\displaystyle \sqrt{13}$
B
$\displaystyle 13$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle \sqrt{5}$

Câu 16

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{2} = 3, u_{6} = 5$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A
$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
C
$\displaystyle -\dfrac{2}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Câu 17

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Bảng xét dấu: f′(x) > 0 trên (−∞; −3); f′(x) = 0 tại x = −3; f′(x) < 0 trên (−3; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) > 0 trên (−1; 0); f′(x) = 0 tại x = 0; f′(x) > 0 trên (0; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) < 0 trên (1; 3); f′(x) = 0 tại x = 3; f′(x) > 0 trên (3; 5); f′(x) = 0 tại x = 5; f′(x) < 0 trên (5; +∞).

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 3$

Câu 18

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ là

A
$\displaystyle y = 2$
B
$\displaystyle y = 1$
C
$\displaystyle y = -1$
D
$\displaystyle y = -2$

Câu 19

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) + 1$ trên $[-1; 3]$ bằng

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) > 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) < 0 trên (−1; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) > 0 trên (1; +∞). Hàm số f đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1), đạt cực đại tại x = −1 với f(−1) = 2, đạt cực tiểu tại x = 1 với f(1) = −2.

A
$\displaystyle -1$
B
$\displaystyle -3$
C
$\displaystyle -2$
D
$\displaystyle 1$

Câu 20

Với $a, b$ là các số thực dương khác $1$ thỏa mãn $a^{3} = b^{2}$ . Giá trị của biểu thức $\log_{a} b^{4}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{8}{3}$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle \frac{4}{3}$
D
$\displaystyle 6$

Câu 21

Cho hai số phức $z_{1} = 3 - 2i$ và $z_{2} = 1 - 3i$ . Phần ảo của số phức $z = z_{1} + 2z_{2}$ bằng

A
$\displaystyle -5$
B
$\displaystyle -8$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 4$

Câu 22

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $\sqrt{3}a$ , $SA = a$ và $SA$ vuông góc với $(ABCD)$ . Góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ bằng

A
$\displaystyle 60^{0}$
B
$\displaystyle 30^{0}$
C
$\displaystyle 45^{0}$
D
$\displaystyle 90^{0}$

Câu 23

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1; -2; 0)$ , $B(2; -1; 3)$ , $C(0; -1; 1)$ . Đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ có phương trình là

A
$\displaystyle \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2 \\ z = 2t. \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 2t. \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 + t \\ z = 2t. \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} x = -1 \\ y = 2 + t \\ z = 2t. \end{cases}$

Câu 24

Biết $\int_{-1}^{2} f(x) dx = 7$ và $\int_{-1}^{0} f(x) dx = 2$ , giá trị của $\int_{0}^{2} (f(x) + 2) dx$ bằng

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle -5$
C
$\displaystyle -1$
D
$\displaystyle 9$

Câu 25

Cho số phức $z = 3 - 4i$ . Trong mặt phẳng $Oxy$ , gọi $M, N, P$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z, -z$ và $\overline{z}$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A
$M$ và $N$ đối xứng nhau qua $Oy$
B
$M$ và $P$ đối xứng nhau qua $Ox$
C
$M$ và $N$ đối xứng nhau qua $O$
D
$N$ và $P$ đối xứng nhau qua $Oy$

Câu 26

Có một dãy ghế gồm $6$ chiếc xếp thành một hàng ngang kề nhau. Xếp ngẫu nhiên $6$ người gồm $3$ học sinh nam, $2$ học sinh nữ và $1$ giáo viên ngồi vào dãy ghế đó, mỗi người ngồi một chiếc. Xác suất để giáo viên ngồi kề và ở giữa $2$ học sinh nữ bằng

A
$\displaystyle \frac{4}{15}$
B
$\displaystyle \frac{1}{15}$
C
$\displaystyle \frac{2}{15}$
D
$\displaystyle \frac{1}{30}$

Câu 27

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x^{3} - 1)(3x - 1), \forall x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = 3f(x - 4) + 5$ là

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 2$

Câu 28

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x} + \sin 2x$ là

A
$\displaystyle F(x) = \frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$
B
$\displaystyle F(x) = \frac{2^{x}}{\ln 2} - \frac{1}{2}\cos 2x + C$
C
$\displaystyle F(x) = 2^{x} + \frac{1}{2}\cos 2x + C$
D
$\displaystyle F(x) = 2^{x} - \frac{1}{2}\cos 2x + C$

Câu 29

Giả sử $a,b$ là các số thực dương khác $1$ , đồ thị các hàm số $y = \log_a x$ và $y = \log_b x$ như hình bên. Đường thẳng $x = 3$ cắt trục hoành, đồ thị hàm số $y = \log_a x$ và $y = \log_b x$ lần lượt tại $H, A$ và $B$ . Biết $HA = 2HB$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle a\sqrt{b} = 1$
B
$\displaystyle b\sqrt{a} = 1$
C
$\displaystyle a = \sqrt{b}$
D
$\displaystyle b = \sqrt{a}$

Câu 30

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta: \dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y-3}{1} = \dfrac{z}{1}$ và hai điểm $A(1; 5; 2)$ , $B(3; 1; -2)$ . Điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ . Hoành độ của $M$ bằng

A
$\displaystyle \pm 1$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle -1$

Câu 31

Biết rằng phương trình $z^2 + 4z + 7 = 0$ có hai nghiệm phức là $z_1$ và $z_2$ . Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho $A(2; 1)$ và $M, N$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1$ và $z_2$ . Diện tích tam giác $AMN$ bằng

A
$\displaystyle 2\sqrt{3}$
B
$\displaystyle 4\sqrt{3}$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 4$

Câu 32

Cho hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, (a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:

Bảng xét dấu: f′(x) > 0 trên (−∞; −3); f′(x) = 0 tại x = −3; f′(x) < 0 trên (−3; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) > 0 trên (−1; +∞).

Trong các hệ số $a, b, c, d$ có bao nhiêu số dương, biết $f(-1) = 0$ ?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 3$

Câu 33

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'C$ và $BB'$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{a}{2}$
B
$\displaystyle a$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}a}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}a}{2}$

Câu 34

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; 1; 1)$ , $B(0; 3; -1)$ và mặt phẳng $(P): 2x + y + z - 4 = 0$ . Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $(P)$ . Tung độ của $I$ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 3$

Câu 35

Cho khối cầu $(S)$ đường kính $AB$ có thể tích bằng $8$ . Khối cầu tâm $A$ , bán kính $AB$ có thể tích bằng

A
$\displaystyle 64$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 16$
D
$\displaystyle 4$

Câu 36

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số $g(x) = f(1-2x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A
$\displaystyle (1; 3)$
B
$\displaystyle (-1; 1)$
C
$\displaystyle (3; +\infty)$
D
$\displaystyle (-\infty; -1)$

Câu 37

Người ta sử dụng 6 miếng tôn hình vuông, mỗi miếng có diện tích $16\text{ cm}^2$ để làm các mặt của một cái hộp hình lập phương. Thể tích của cái hộp được tạo thành bằng

A
$\displaystyle 16\text{ cm}^3$
B
$\displaystyle 64\text{ cm}^3$
C
$\displaystyle 512\text{ cm}^3$
D
$\displaystyle 256\text{ cm}^3$

Câu 38

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số $y = f(x)$ tạo với trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = 4$ ba hình phẳng có diện tích $S_1 = S_2 = S_3 = \dfrac{4}{3}$ . Giá trị của tích phân $\int_{0}^{4} f(x) dx$ bằng

Đồ thị hàm số y = f(x) tạo với trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 4 ba miền có diện tích S1, S2, S3

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{4}{3}$
D
$\displaystyle -4$

Câu 39

Trên tập số phức, xét phương trình $z^2 - 2mz + 7m - 6 = 0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $z_1, z_2$ thỏa mãn $|1 + z_1| = |1 + z_2|$ ?

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 7$

Câu 40

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $(AD \parallel BC)$ , $AD = 2a$ , $AB = BC = CD = a$ , các cạnh bên bằng nhau, góc giữa $SC$ và $(SAD)$ bằng $30^\circ$ . Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{3a^3}{4}$
B
$\displaystyle \dfrac{9a^3}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{6}a^3}{4}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}a^3}{4}$

Câu 41

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình sau có nghiệm, đồng thời với mỗi $m$ , tập nghiệm của nó chứa không quá 24 số nguyên?

\log_{2} \left(2x^2 + m\right) \geq 2 + \log_{2} \left(x^2 - x + 1\right).

A
$\displaystyle 289$
B
$\displaystyle 288$
C
$\displaystyle 242$
D
$\displaystyle 243$

Câu 42

Một chiếc bồn chứa xăng có dạng hình trụ dài $8,5\text{ m}$ và đường kính đáy bằng $2,4\text{ m}$ . Người ta đo được khoảng cách từ mép trên của chiếc bồn đến mặt xăng nằm ngang là $0,6\text{ m}$ . Tính thể tích xăng chứa trong chiếc bồn đó (bỏ qua độ dày thành bồn, kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Bồn chứa xăng hình trụ nằm ngang với mặt xăng

A
$\displaystyle 18,118\text{ m}^3$
B
$\displaystyle 25,635\text{ m}^3$
C
$\displaystyle 30,935\text{ m}^3$
D
$\displaystyle 28,839\text{ m}^3$

Câu 43

Xét các số phức $z, w$ thỏa mãn $|z + i| = |z - 1 + 2i|$ và $|w| = 1$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z - 5 + 3i| - |z - w|$ bằng

A
$\displaystyle \sqrt{10} + 1$
B
$\displaystyle \sqrt{34} - 1$
C
$\displaystyle \sqrt{34} + 1$
D
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{34}}{4}$

Câu 44

Trong không gian $Oxyz$ , có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng $\Delta: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-3}{3}$ và $\Delta': \dfrac{x-3}{4} = \dfrac{y-3}{-5} = \dfrac{z+1}{-1}$ , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S): (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 12$ ?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 0$
D
Vô số

Câu 45

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f'(1 - 3x) = x^2 + 2x, \forall x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ hàm số $g(x) = f\left(2x - 4\sqrt{2x + 1} + m\right)$ có đúng 2 điểm cực trị thuộc khoảng $(0; 24)$ ?

A
12
B
11
C
23
D
24

Câu 46

Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ , tồn tại đúng 1 số nguyên dương $b$ thỏa mãn

$\log_{2}\left(1 + \frac{a}{8} + \frac{b}{4}\right) = \log_{3}\left(1 + \frac{a}{4} + \frac{b}{2}\right)?$

A
9
B
5
C
4
D
8

Câu 47

Một chiếc cối giã gạo bằng đá của đồng bào dân tộc ở tỉnh Hà Giang có dạng khối tròn xoay, phía bên ngoài là hình trụ, cao $50\text{ cm}$ . Mặt cắt của chiếc cối bởi mặt phẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với đáy như hình bên. Biết rằng đường cong bên trong mặt cắt là một đường parabol đỉnh tại $I$ . Biết $AB = 70\text{ cm}$ , $CD = 60\text{ cm}$ và $IJ = 40\text{ cm}$ , thể tích phần đá của chiếc cối gần nhất với giá trị nào sau đây?

A
$\displaystyle 84\text{ dm}^3$
B
$\displaystyle 43\text{ dm}^3$
C
$\displaystyle 167\text{ dm}^3$
D
$\displaystyle 136\text{ dm}^3$

Câu 48

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $M(5; 1; 10)$ , $A(9; 15; -6)$ , $B(-3; 9; 6)$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x + y - 2z + 27 = 0$ . Mặt cầu $(S)$ đi qua $A, B$ và tiếp xúc với $(\alpha)$ tại $C$ . Đoạn thẳng $MC$ có độ dài lớn nhất bằng

A
$\displaystyle 6\sqrt{34}$
B
$\displaystyle 6\sqrt{22}$
C
$\displaystyle 6\sqrt{5}$
D
$\displaystyle 6\sqrt{17}$

Câu 49

Biết rằng $F(x) = \frac{1}{2}x^2$ là một nguyên hàm của mỗi hàm số $y = \frac{f(x)}{\sin x + 2}$ và $y = \frac{g(x)}{\cos x + 2}$ trên $\mathbb{R}$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$ , $y = g(x)$ , $x = 0$ và $x = \frac{\pi}{2}$ bằng

A
$\displaystyle \frac{(\sqrt{2} + 1)\pi}{2}$
B
$\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi - 2}{2}$
C
$\displaystyle \frac{(\sqrt{2} - 1)\pi}{2}$
D
$\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi + 2}{2}$

Câu 50

Cho hàm số $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + mx$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu số nguyên $m < 2024$ để $\max_{[0; 3]} f(x) = f(3)$ .

A
2013
B
2014
C
2010
D
2011