Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 2 năm 2024 — Sở GD&ĐT Nam Định

Câu 1

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$ ?

A
$\displaystyle y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$
B
$\displaystyle y = \log_{\frac{1}{2}} x$
C
$\displaystyle y = \ln x$
D
$\displaystyle y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Câu 2

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ < 0 trên (−∞; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ < 0 trên (1; +∞). Hàm số y nghịch biến trên (−∞; +∞).

A
$\displaystyle y = -x^3 + x^2 - x + 2$
B
$\displaystyle y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 1$
C
$\displaystyle y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 2$
D
$\displaystyle y = x^3 - 3x^2 + 3x$

Câu 3

Cho hàm số $f(x) = \cos 2x$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle \int f(x) dx = -\dfrac{1}{2}\sin 2x + C$
B
$\displaystyle \int f(x) dx = \dfrac{1}{2}\sin 2x + C$
C
$\displaystyle \int f(x) dx = 2\sin 2x + C$
D
$\displaystyle \int f(x) dx = -2\sin 2x + C$

Câu 4

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ < 0 trên (−∞; −1); y′ = 0 tại x = −1; y′ > 0 trên (−1; 1); y′ = 0 tại x = 1; y′ < 0 trên (1; +∞). Hàm số y nghịch biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), đồng biến trên (−1; 1), đạt cực tiểu tại x = −1 với y(−1) = −1, đạt cực đại tại x = 1 với y(1) = 3.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (-\infty;3)$
B
$\displaystyle (-1;+\infty)$
C
$\displaystyle (-1;3)$
D
$\displaystyle (-1;1)$

Câu 5

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{3x+1}{1-x}$ có phương trình là

A
$\displaystyle y = -3$
B
$\displaystyle y = -1$
C
$\displaystyle y = 3$
D
$\displaystyle y = 1$

Câu 6

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho điểm $M(3;-1)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ . Tính $|z|$ .

A
$\displaystyle |z| = 2$
B
$\displaystyle |z| = 10$
C
$\displaystyle |z| = \sqrt{2}$
D
$\displaystyle |z| = \sqrt{10}$

Câu 7

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\log_4 (x-1)^2 - \log_2 3 = 1$ bằng

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 7$
D
$\displaystyle 3$

Câu 8

Tập nghiệm của bất phương trình $\log(x-2) < 1$ là

A
$\displaystyle (2;12)$
B
$\displaystyle (-\infty;12)$
C
$\displaystyle (2;3)$
D
$\displaystyle (-2;12)$

Câu 9

Nếu $\int_0^2 f(x) dx = 3$ thì $\int_0^2 (1-f(x)) dx$ bằng

A
$\displaystyle -1$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle -2$
D
$\displaystyle -3$

Câu 10

Cho hàm số bậc ba $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) < 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) > 0 trên (−1; 2); f′(x) = 0 tại x = 2; f′(x) < 0 trên (2; +∞). Hàm số f nghịch biến trên (−∞; −1) và (2; +∞), đồng biến trên (−1; 2), đạt cực tiểu tại x = −1 với f(−1) = −3, đạt cực đại tại x = 2 với f(2) = 1.

Tính $I = \int_{-1}^{2} f'(x)dx$ .

A
$\displaystyle I = 0$
B
$\displaystyle I = -2$
C
$\displaystyle I = 4$
D
$\displaystyle I = 2$

Câu 11

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý và $a$ khác $1$ , $\frac{\log_2 b}{\log_2 a}$ bằng

A
$\displaystyle \log_2 (ab)$
B
$\displaystyle \log_2 \frac{b}{a}$
C
$\displaystyle \log_a b$
D
$\displaystyle \log_2 (b-a)$

Câu 12

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;3;-4)$ . Điểm nào dưới đây là điểm đối xứng với điểm $A$ qua gốc tọa độ $O$ ?

A
$\displaystyle P(-2;-3;0)$
B
$\displaystyle Q(4;6;-8)$
C
$\displaystyle N(-2;-3;4)$
D
$\displaystyle M(-4;-6;8)$

Câu 13

Hàm số $y = x^4 + 2x^2 + 1$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 3$

Câu 14

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): x + 3z - 1 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?

A
$\displaystyle \overrightarrow{n_2}(1;3;0)$
B
$\displaystyle \overrightarrow{n_4}(0;1;3)$
C
$\displaystyle \overrightarrow{n_1}(1;3;-1)$
D
$\displaystyle \overrightarrow{n_3}(1;0;3)$

Câu 15

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\vec{u} = (0;1;2)$ và $\vec{v} = (2;-1;0)$ . Tính $\cos(\vec{u}, \vec{v})$ .

A
$\displaystyle \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{3}{5}$
B
$\displaystyle \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{1}{5}$
C
$\displaystyle \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -\frac{1}{5}$
D
$\displaystyle \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -\frac{3}{5}$

Câu 16

Cho hình trụ có chiều cao $h = 3$ và bán kính đáy $r = 4$ . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A
$\displaystyle 24\pi$
B
$\displaystyle 16\pi$
C
$\displaystyle 12\pi$
D
$\displaystyle 48\pi$

Câu 17

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-1;2)$ và đi qua điểm $A(2;1;1)$ . Phương trình của $(S)$ là

A
$\displaystyle x^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 3$
B
$\displaystyle x^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 3$
C
$\displaystyle x^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9$
D
$\displaystyle x^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 9$

Câu 18

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $9a^2$ và chiều cao bằng $3a$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A
$\displaystyle 6a^3$
B
$\displaystyle 27a^3$
C
$\displaystyle 12a^3$
D
$\displaystyle 9a^3$

Câu 19

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle -1$
D
$\displaystyle 0$

Câu 20

Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[3]{(x^2+1)^4}$ .

A
$\displaystyle y'=\dfrac{4}{3}\sqrt[3]{x^2+1}$
B
$\displaystyle y'=\dfrac{7}{3}\sqrt[3]{(x^2+1)^7}$
C
$\displaystyle y'=\dfrac{14x}{3}\sqrt[3]{(x^2+1)^7}$
D
$\displaystyle y'=\dfrac{8x}{3}\sqrt[3]{x^2+1}$

Câu 21

Hàm số $f(x)=x^2e^{1-x}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (0;2)$
B
$\displaystyle (2;+\infty)$
C
$\displaystyle (-2;0)$
D
$\displaystyle (-\infty;-2)$

Câu 22

Cho hai số phức $z_1=1+i$ và $z_2=4-5i$ . Số phức $z_1-z_2$ bằng

A
$\displaystyle 5-4i$
B
$\displaystyle -3+6i$
C
$\displaystyle -4+5i$
D
$\displaystyle 3-6i$

Câu 23

Trong một hộp có 15 viên bi cùng kích thước được đánh số khác nhau từ số 1 đến số 15. Người ta lấy ngẫu nhiên cùng một lúc từ hộp ra hai viên bi rồi nhân hai số ghi trên hai viên bi đó với nhau. Xác suất để tích thu được là một số chẵn bằng

A
$\displaystyle \dfrac{4}{5}$
B
$\displaystyle \dfrac{2}{15}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{5}$
D
$\displaystyle \dfrac{11}{15}$

Câu 24

Biết trên khoảng $(-\infty;+\infty)$ thì $\int f(x)dx=4x^3+3x^2+C$ . Tìm hàm số $f(x)$ .

A
$\displaystyle f(x)=x^4+x^3$
B
$\displaystyle f(x)=12x^2+6x$
C
$\displaystyle f(x)=12x^2+6x+C$
D
$\displaystyle f(x)=x^4+x^3+C$

Câu 25

Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in\mathbb{R})$ thoả mãn $z-2\overline{z}=-3+6i$ . Tính $P=ab$ .

A
$\displaystyle P=-6$
B
$\displaystyle P=-5$
C
$\displaystyle P=6$
D
$\displaystyle P=5$

Câu 26

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-3;2)$ và cắt mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$ . Mặt cầu $(S)$ có phương trình là

A
$\displaystyle (x+1)^2+(y-3)^2+(z+2)^2=25$
B
$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=25$
C
$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=16$
D
$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=5$

Câu 27

Biết $z_0$ là một nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^2-4z+5=0$ . Phần thực của số phức $iz_0$ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle -1$
D
$\displaystyle -2$

Câu 28

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $BD$ bằng

A
$\displaystyle 45^\circ$
B
$\displaystyle 30^\circ$
C
$\displaystyle 60^\circ$
D
$\displaystyle 90^\circ$

Câu 29

Cho $x\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ thoả mãn $\log_2(\sin x)+\log_2(\cos x)=-3$ . Tính $P=\log_2(\sin x+\cos x)$ .

A
$\displaystyle P=\dfrac{1}{2}(\log_2 5-2)$
B
$\displaystyle P=\log_2 3-1$
C
$\displaystyle P=\dfrac{1}{2}(\log_2 3-1)$
D
$\displaystyle P=\log_2 5-2$

Câu 30

Biết $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos^2 xdx=a\cdot\pi+b$ với $a,b\in\mathbb{Q}$ . Tính $P=ab$ .

A
$\displaystyle P=\dfrac{1}{16}$
B
$\displaystyle P=-\dfrac{1}{32}$
C
$\displaystyle P=\dfrac{1}{32}$
D
$\displaystyle P=-\dfrac{1}{16}$

Câu 31

Cho 6 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 6 điểm đã cho?

A
18
B
2
C
20
D
120

Câu 32

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - x$ và trục hoành là

A
1
B
3
C
0
D
2

Câu 33

Cắt một hình trụ $(T)$ bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $2$ . Thể tích của khối trụ được tạo nên bởi hình trụ $(T)$ bằng

A
$\displaystyle 8\pi$
B
$\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}$
C
$\displaystyle 4\pi$
D
$\displaystyle 2\pi$

Câu 34

Trên đoạn $[2; 6]$ , hàm số $y = x + \dfrac{16}{x-1}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào dưới đây?

A
$\displaystyle x = 6$
B
$\displaystyle x = 3$
C
$\displaystyle x = 2$
D
$\displaystyle x = 5$

Câu 35

Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng $2a$ . Chiều cao của hình nón đã cho bằng

A
$\displaystyle 2a$
B
$\displaystyle a$
C
$\displaystyle a\sqrt{3}$
D
$\displaystyle a\sqrt{2}$

Câu 36

Cho $a, b$ là hai số thực dương, khác $1$ và thỏa mãn $b^{2(\log_a b)^2+1} - a^{18} = 0$ . Giá trị $\log_a b$ bằng

A
$\displaystyle -2$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 1$

Câu 37

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh bên bằng $a$ và cạnh đáy bằng $2a$ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa $A'B$ và $B'C'$ bằng

A
$\displaystyle a\sqrt{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{3a}{2}$

Câu 38

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): x + y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -t \\ z = -2 + 2t \end{cases}$

. Xét đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và cắt đường thẳng $\Delta$ . Khi $d$ vuông góc với $\Delta$ thì đường thẳng $d$ đi qua điểm nào dưới đây?

A
$\displaystyle Q(4; -6; -1)$
B
$\displaystyle N(2; 2; -1)$
C
$\displaystyle P(4; -2; -1)$
D
$\displaystyle M(4; -6; 2)$

Câu 39

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 1$ và $u_2 = 4$ . Tìm $u_3$ .

A
$\displaystyle u_3 = 12$
B
$\displaystyle u_3 = 5$
C
$\displaystyle u_3 = 7$
D
$\displaystyle u_3 = 11$

Câu 40

Cho hình thang $ABCD$ với $AB = AD = 1$ , $DC = 3$ , $\widehat{BAD} = \widehat{ADC} = 90^\circ$ . Cung tròn đi qua $B$ và $D$ là một phần của đường tròn có tâm là $A$ ; gọi $(H)$ (phần tô đậm trên hình vẽ bên) là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn và các đoạn thẳng $BC$ , $DC$ . Quay hình $(H)$ quanh đường thẳng $DC$ tạo thành một khối tròn xoay, tính thể tích $V$ của khối tròn xoay này.

Hình thang ABCD và hình phẳng (H) tô đậm

A
$\displaystyle V = \dfrac{10\pi - 3\pi^2}{6}$
B
$\displaystyle V = \dfrac{14\pi + 3\pi^2}{6}$
C
$\displaystyle V = \dfrac{14\pi - 3\pi^2}{6}$
D
$\displaystyle V = \dfrac{10\pi + 3\pi^2}{6}$

Câu 41

Cho hàm số bậc hai $y = f(x)$ có đồ thị là $(P)$ , một đường thẳng $\Delta$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm là $A(-1; -3)$ và $B(2; -1)$ như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng $\frac{3}{2}$ , tính tích phân $I = \int_{-1}^{2} (2x+1)f'(x)dx$ .

Đồ thị (P) và đường thẳng Δ cắt nhau tại A(-1;-3) và B(2;-1), hình phẳng giới hạn bởi (P) và Δ được tô đậm

A
$\displaystyle I = 1$
B
$\displaystyle I = -17$
C
$\displaystyle I = 7$
D
$\displaystyle I = -11$

Câu 42

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z - 2 + i| = 5$ và $\dfrac{i - 2}{z - 7 + i}$ là số thực?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 0$

Câu 43

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 1}{1}$ và mặt cầu $(S): x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 6y - 6z + 21 = 0$ . Biết hai mặt phẳng $(P)$ , $(Q)$ cùng chứa đường thẳng $d$ và lần lượt tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $A, B$ . Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ . Tích của các khoảng cách từ các điểm $A, B, O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{12}}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{12}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

Câu 44

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $a$ , khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ bằng $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$ . Thể tích của khối tứ diện $AB'BC'$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{4}a^{3}$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{36}a^{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{6}a^{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{6}}{12}a^{3}$

Câu 45

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để với mỗi giá trị $m$ đó thì hàm số $y = \log_{2}^{3}x - m\log_{2}^{2}x + (4m - 15)\log_{\frac{1}{2}}x + m$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$ ?

A
$\displaystyle 18$
B
$\displaystyle 19$
C
$\displaystyle 55$
D
$\displaystyle 54$

Câu 46

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;1)$ , $B(x_{B}; y_{B}; z_{B})$ . Đường cao kẻ từ $B$ và đường cao kẻ từ $C$ của tam giác này tương ứng nằm trên các đường thẳng có phương trình $\dfrac{x - 4}{4} = \dfrac{y + 2}{-5} = \dfrac{z - 1}{-2}$ , $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z - a}{b}$ ( $a, b$ là các tham số thực). Phát biểu nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle a^{3} - b^{3} = 3z_{B}$
B
$\displaystyle a^{3} + b^{3} = 3z_{B}$
C
$\displaystyle a^{3} + b^{3} = 3x_{B}$
D
$\displaystyle a^{3} - b^{3} = 3y_{B}$

Câu 47

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(0; +\infty)$ và thỏa mãn

x^{5}f(x) - 2x^{2}f\left(\frac{1}{x^{2}}\right) = x^{6} - x^{4} - 2,\ \forall x > 0.

Biết rằng $\int_{2}^{16} f(x)dx = a + \ln b$ với $a, b \in \mathbb{N}^{*}$ . Tính giá trị của $J = a - 2b^{2}$ .

A
$\displaystyle J = -2$
B
$\displaystyle J = -254$
C
$\displaystyle J = 62$
D
$\displaystyle J = 2$

Câu 48

Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ đó, tồn tại đúng hai giá trị $x$ phân biệt thuộc đoạn $[-2; 4]$ thỏa mãn $3 + \log_{3}(63 + 2x - x^{2}) = \log_{2}(x^{3} + 3x^{2} - 9x - y)$ ?

A
$\displaystyle 36$
B
$\displaystyle 54$
C
$\displaystyle 91$
D
$\displaystyle 37$

Câu 49

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ và bảng biến thiên như sau:

Bảng biến thiên của hàm số f(x): f′(x) > 0 trên (−∞; −1); f′(x) = 0 tại x = −1; f′(x) < 0 trên (−1; 1); f′(x) = 0 tại x = 1; f′(x) > 0 trên (1; +∞). Hàm số f đồng biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), nghịch biến trên (−1; 1), đạt cực đại tại x = −1 với f(−1) = 2, đạt cực tiểu tại x = 1 với f(1) = −3.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc khoảng $(-10;20)$ mà ứng với mỗi $m$ đó thì hàm số $g(x)=f^3(m|2x+m|+m-2)$ có số điểm cực đại bằng 1?

A
18
B
2
C
11
D
10

Câu 50

Xét các số phức $z, w$ thay đổi và thỏa mãn $|z+w|=2$ , $|2z+iw|=3$ . Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|2z+(1+3i)w|$ có dạng $a+b\sqrt{2}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$ . Giá trị của tổng $a+b$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (2;4)$
B
$\displaystyle (-4;-2)$
C
$\displaystyle (-2;0)$
D
$\displaystyle (0;2)$