Đề thi thử học sinh giỏi Toán 8 lần 2 năm 2026 — Trường THCS Nga Thiện, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

a)
Chứng minh rằng: $A = [n^{3}(n^{2} - 7)^{2} - 36n]$ chia hết cho $7$ với $n \in \mathbb{Z}$
b)
Cho $x^{2} + 2x = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $A = x^{6} + 3x^{5} + 3x^{4} + 3x^{3} + 2x^{2} + 8x + 7$

4,0 điểm

a)
Tìm $x$ biết: $\left(\dfrac{1}{4}x + 3\right)^{3} + \left(\dfrac{3}{4}x - 4\right)^{3} = (x - 1)^{3}$
b)
Tìm cặp số $(x, y)$ nguyên thỏa mãn $x^{2} + x + 3 = y^{2}$
c)
Tìm đa thức $f(x)$ biết $f(x)$ chia cho $(x - 2)$ dư $5$ , $f(x)$ chia cho $(x - 3)$ dư $7$ , $f(x)$ chia cho $(x - 2)(x - 3)$ được thương là $x^{2} - 1$ và còn dư.

4,0 điểm

a)
Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $a$ thỏa mãn $(2024^{2024} + 1)$ chia hết $(a^{3} + 2025a)$
b)
Cho các số $a, b, c, d$ nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:
$\frac{2a + b}{a + b} + \frac{2b + c}{b + c} + \frac{2c + d}{c + d} + \frac{2d + a}{d + a} = 6$
Chứng minh $A = abcd$ là số chính phương.

6,0 điểm

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có góc $BDC = 30^{\circ}$ . Qua $C$ kẻ đường vuông góc với $BD$ cắt $BD$ ở $E$ và cắt phân giác của góc $ADB$ tại $M$ .

a)
Tính góc $CBM$ .
b)
Chứng minh tứ giác $AMBD$ là hình thang cân.
c)
Gọi $N$ là hình chiếu của $M$ trên $DA$ . $K$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$ . Chứng minh ba điểm $N, K, E$ thẳng hàng.

2,0 điểm

Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Chứng minh

\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \ge \frac{3}{2}