Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2026 — Sở GD&ĐT Ninh Bình

Câu 1

4,0 điểm

1)
Cho biểu thức $A = \left[\dfrac{x - 1}{x^2 + x + 1} - \dfrac{2(x^2 - 3x + 1)}{x^3 - 1} + \dfrac{1}{x - 1}\right] : \dfrac{5x}{x^2 - 1}$ (với $x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1$ ).
1. a)
  Chứng minh rằng $A = \dfrac{x + 1}{x^2 + x + 1}$ .
2. b)
  Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x$ thỏa mãn $|2x - 1| = 5$ .
2)
Để rèn luyện sức khỏe, hàng ngày bác An đều đi xe đạp. Hôm nay, bác dự định đi từ địa điểm $A$ đến địa điểm $B$ với quãng đường $36$ km. Trên nửa quãng đường đầu tiên, bác đi với vận tốc không đổi. Trên nửa quãng đường sau bác tăng vận tốc thêm $2$ km/giờ nên bác An tới $B$ sớm hơn thời gian dự tính $18$ phút. Tính thời gian thực tế bác An đi hết quãng đường $AB$ .

4,0 điểm

1)
Tìm $x$ biết $(x^2 - 4x + 3)^2 - 6(x - 2)^2 - 10 = 0$ .
2)
Cho đa thức $P(x)$ bậc lớn hơn $2$ chia hết cho $x^2 - x + 1$ và $P(-1) = 2026$ . Tìm đa thức dư của phép chia $P(x)$ cho $x^3 + 1$ .

3,0 điểm

7,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ , các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ .
1. a)
  Chứng minh rằng $EH$ là đường phân giác của $\widehat{DEF}$ .
2. b)
  Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$ , $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$ . Chứng minh rằng $MB^2 = MD \cdot MK$ .
3. c)
  Gọi $X$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AK$ . Các điểm $Y, Z$ nằm trên đường thẳng $AK$ sao cho $MY$ vuông góc với $AK$ và $MZ$ vuông góc với $BC$ . Chứng minh $XD$ là đường phân giác của $\widehat{BXC}$ và $BC^2 = 4XY \cdot KZ$ .
2)
Trên mảnh đất hình vuông cạnh 12 mét, người ta làm đường đi bao quanh có bề rộng 1 mét, hai đường đi chính giữa có bề rộng 2 mét (như hình vẽ). Trên đường đi, người ta lát đá. Biết rằng chi phí mỗi mét vuông lát đá là 500 nghìn đồng. Tính tổng chi phí (triệu đồng) lát đá đường đi.

2,0 điểm

1)
Xét các số thực dương $a, b, c$ thay đổi thỏa mãn $ab + bc + ca = abc$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P = \frac{2a + 1}{bc(a + 1)} + \frac{2b + 1}{ca(b + 1)} + \frac{2c + 1}{ab(c + 1)}.$
2)
Hình dạng “O” là hình vuông kích cỡ $2 \times 2$ như hình vẽ sau:
Hình dạng “L” gồm 4 hình vuông đơn vị được ghép thành một trong tám hình dạng như sau:
Chứng minh rằng không thể phủ kín hình vuông kích cỡ $8 \times 8$ bằng một số lẻ hình dạng “O” và một số hình dạng “L” sao cho hai hình bất kỳ không được chồng lên nhau, không có hình nào thừa ra ngoài.