Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 8 năm 2025–2026 — Trường THCS Nguyễn Tri Phương, Huế

Câu 1

2,0 điểm

Phân tích đa thức thành nhân tử:

x^4 + 2026x^2 - 2025x + 2026.

Câu 2

4,0 điểm

a)
Tìm các số $x, y$ sao cho
$2x^2 + 9y^2 - 6xy - 6x - 12y + 29 = 0.$
b)
Biết số chính phương bằng bình phương của một số nguyên. Tìm tất cả các số nguyên $x$ để giá trị biểu thức sau là số chính phương.
$A = x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 8.$

Câu 3

2,0 điểm

Cho đường thẳng $(d)$ : $y = mx + 2 - m$ ( $m$ là tham số, $m$ khác $0$ ).

Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{2}$ .

Câu 4

4,0 điểm

a)
Cho ba số $a, b, c$ khác $0$ thỏa mãn $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b}$ .

Tính $P = \left(a^{2026} - b^{2026}\right)\left(b^{2026} - c^{2026}\right)\left(c^{2026} - a^{2026}\right)$ .
b)
Cho $\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b} = 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{(b-c)^2} + \frac{b}{(c-a)^2} + \frac{c}{(a-b)^2} = 0$ .

Câu 5

5,0 điểm

Cho hình vuông $ABCD$ . Trên cạnh $AB$ , $AD$ lần lượt lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $AM = AN$ . Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $BN$ cắt $CD$ tại $P$ và cắt $BC$ tại $Q$ .

a)
Chứng minh tứ giác $AMPD$ là hình chữ nhật.
b)
Chứng minh: $\frac{1}{AD^2} = \frac{1}{AP^2} + \frac{1}{AQ^2}$ .

Câu 6

3,0 điểm

Cho hình chữ nhật $ABCD$ . Gọi $K$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$ , $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $KC$ và $AB$ . Chứng minh tam giác $DEF$ vuông.