Đề khảo sát chọn nguồn học sinh giỏi Toán 8 vòng 5 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Đông Hưng, Thái Bình

Câu 1

5,5 điểm

1)
Rút gọn biểu thức:

$A=\left(\frac{x^{2}+3x}{x^{3}+3x^{2}+9x+27}+\frac{3}{x^{2}+9}\right):\left(\frac{1}{x-3}-\frac{6x}{x^{3}-3x^{2}+9x-27}\right)\cdot\frac{x-3}{x^{2}+7}$
2)
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn $3x+y=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=3x^{2}+y^{2}$
3)
Cho $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ với $a, b, c$ là các số thực. Biết $f(x)$ chia cho $x+1$ dư $-4$ , $f(x)$ chia cho $x-2$ dư $5$ . Tính:

$A=\left(a^{2025}+b^{2025}\right)\left(b^{2025}-c^{2025}\right)\left(c^{2025}+a^{2025}\right)(x-3)$

4,0 điểm

1)
Tìm $x$ biết:

$(2x-5)^{3}+(2-x)^{3}=(x-3)^{3}+(x-3)(7x^{2}-2052x+2054)$
2)
Một sân vườn hình chữ nhật được lát bởi các viên gạch hình bát giác đều và các viên gạch hình vuông hoặc hình tam giác vuông cân (hình vẽ minh họa). Biết cạnh bát giác đều bằng $2dm$ và số gạch hình bát giác đều là $2025$ viên. Tính diện tích phần sân vườn được lát bởi những viên gạch không phải là hình bát giác đều.

4,0 điểm

1)
Tìm $x, y$ nguyên tố biết: $\left(x^{2}+2\right)^{2}=2y^{4}+11y^{2}+x^{2}y^{2}+9$
2)
Với các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $xyz=-1$ ; $x+y+z=4$ và
$\frac{x}{x^{2}-3x-1}+\frac{y}{y^{2}-3y-1}+\frac{z}{z^{2}-3z-1}=\frac{4}{9}.$
Tính giá trị của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ .

6,5 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, gọi $F$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Tia phân giác trong của góc $BFC$ cắt $BC$ tại $N$ , tia phân giác trong của góc $AFC$ cắt $AC$ tại $Q$ .
1. a)
  Chứng minh rằng $QN // AB$
2. b)
  Lấy điểm $P$ thuộc $FQ$ sao cho $AP=AQ$ . Gọi $G$ là giao điểm của $AP$ và $FC$ , $M$ là giao điểm của $FN$ và $BG$ . Chứng minh $\Delta APF \sim \Delta CQF$ và $BM=BN$
2)
Cho tam giác $ABC$ có $\hat{B}=2\hat{C}$ . Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ biết rằng số đo các cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp.