Đề thi thử chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Rút gọn biểu thức:

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn: $z^{2} = x^{3} + y^{3} = 3xy + z$.

Tính giá trị biểu thức: $M = \sqrt{2025 - (x + y)^{2026} + z^{2026}}$

Giải hệ phương trình

Cho một lưới ô vuông gồm $3\times3$ ô hình vuông, các đỉnh của lưới là các giao điểm của các đường kẻ ngang và dọc như hình vẽ. Từ tất cả các đỉnh đó, chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh. Tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác?

Tìm tất cả các số nguyên $x, y$ thỏa mãn:

$x^{2}y^{2}(x + y) + x = 2 + y(x - 1)$

Một đại lý nhập trái cây theo từng đợt; chỉ khi bán hết hàng cũ mới nhập đợt mới. Chi phí vận chuyển cho mỗi đợt nhập là 25 triệu đồng. Mỗi tạ trái cây trong kho phải chịu chi phí bảo quản 80 nghìn đồng mỗi ngày. Toàn bộ số trái cây đều được tính chi phí bảo quản cho mỗi ngày kể từ sau khi nhập về. Ngay sau khi nhập hàng, đại lý bán được 25 tạ mỗi ngày. Hỏi: Mỗi đợt đại lý nên nhập lượng trái cây đủ bán trong bao nhiêu ngày để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất?

Một cái sân hình chữ nhật ABCD có kích thước $AB = 16\text{ m}$, $AD = 12\text{ m}$. Một camera an ninh được lắp ở trung điểm M của cạnh AB. Biết rằng góc nhìn của camera là $90^{\circ}$. Hãy tính diện tích sân mà camera có thể quan sát được khi camera bắt đầu quét tới trung điểm N của cạnh AD (như hình vẽ). Làm tròn đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy.

Giả sử đường tròn $(I)$ nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ tương ứng tại $K, P, Q$ ($CA < CB$, góc $BAC$ tù). Gọi $R$ là trung điểm của $PK$, $L$ là giao của tia $IC$ với $(I)$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên các cạnh $AB, BC, CA$ theo thứ tự lấy các điểm $D, E, F$ sao cho $DE \perp BC$ và $DE = DF$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh rằng $\widehat{BCM} = \widehat{BFE}$.

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm A trên sa mạc. Anh ta cần di chuyển đến điểm B, cách A một đoạn 70 km. Trong sa mạc ô tô chỉ chạy được với vận tốc 30 km/h, nên nếu đi thẳng từ A đến B thì sẽ không kịp đến nơi trong vòng 2 giờ theo yêu cầu công việc. Rất may là có một con đường nhựa song song với AB và cách AB một khoảng 10 km (như hình vẽ). Trên đường nhựa, xe có thể chạy với vận tốc 50 km/h. Nhà địa chất dự định chọn một điểm C trên đường nhựa để đi từ A đến C bằng đường thẳng trong sa mạc, sau đó tiếp tục đi trên đường nhựa từ C đến một điểm D, rồi lại đi từ D qua sa mạc để đến B.

Hỏi: Với cách lựa chọn trên thì thời gian ít nhất để nhà địa chất đi từ A đến B là bao nhiêu?