Đề thi Olympic chuyên Toán lớp 9 lần thứ 2 năm 2025 — Trường THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

4,0 điểm

a)
Cho hai số thực phân biệt $a, b \neq 0$ , thỏa mãn
$a^2 + 2ab = 3b^2.$
Tính giá trị biểu thức $P = \dfrac{(a + b)(a + 2b)}{(a - b)(a - 2b)}$ .
b)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} 3x(x + y - 2) = 2y \\ y(x + y - 1) = 9x \end{cases}$

Câu 2

4,0 điểm

a)
Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{1 + b^2} + \dfrac{b}{1 + c^2} + \dfrac{c}{1 + a^2} \ge \dfrac{3}{2}$ .
b)
Cho một chiếc hộp trong đó có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng, các viên bi được coi là khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi, sao cho các viên bi lấy ra có đủ cả 3 màu?

Câu 3

7,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Kẻ các đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$ với $E \in AC, F \in AB$ . Trung trực của đoạn thẳng $HB$ cắt cạnh $BC$ tại $M$ . Trung trực của đoạn thẳng $HC$ cắt cạnh $BC$ tại $N$ . Đường tròn $(M; MB)$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $J$ khác $B$ . Đường tròn $(N; NC)$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $I$ khác $C$ .

a)
Chứng minh rằng các điểm $I, J, B, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Gọi $P$ là giao điểm khác $H$ của $(M; MB)$ và $(N; NC)$ . Chứng minh rằng $P$ là giao điểm khác $A$ của $AH$ và $(O)$ .
c)
Lấy $Q$ là giao điểm khác $C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PFC$ và $AC$ . Chứng minh rằng $Q$ là trung điểm của $AI$ .

Câu 4

4,0 điểm

a)
Chứng minh rằng nếu bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a, b$ đều là các số chính phương thì $a, b$ cũng là các số chính phương.
b)
Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ để $A = 4x^3 + 9x^2 - 10x - 15$ là số chính phương.

Câu 5

1,0 điểm

Cho 20 điểm phân biệt gồm 10 điểm màu xanh và 10 điểm màu đỏ trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể dùng 10 đoạn thẳng nối mỗi điểm xanh với một điểm đỏ tương ứng sao cho 10 đoạn thẳng này đôi một không có điểm chung.

HẾT