Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Câu 1

3,5 điểm

1)
Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}\right) : \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} - 2x + \sqrt{x}}$ , với $x > 0, x \neq 1$ . Rút gọn biểu thức $P$ và tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn $P \le 2$ .
2)
Một cổng nhà máy được thiết kế dạng parabol $y = ax^{2}$ $(a \neq 0)$ ở Hình 1. Chiều cao của cổng là $IO = 6$ m so với mặt đất và chiều rộng của chân cổng là $MN = 4$ m.
Hình 1
1. a)
  Tìm hệ số $a$ dựa vào các dữ kiện đã cho.
2. b)
  Một cái thùng có khối lượng không lớn (kéo được trên mặt đất), dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều cao của cổng, chiều rộng là $AB = 2,8$ m và chiều cao là $BC = h$ (m) $(h > 0)$ . Người ta muốn kéo thùng đó từ bên ngoài vào trong nhà máy qua vị trí chính giữa cổng (Hình 2 minh họa thùng khi qua chính giữa cổng theo hướng nhìn từ phía trước cổng). Tìm điều kiện của $h$ để kéo được thùng đó qua cổng mà không chạm vào cổng.
  Hình 2

Câu 2

3,5 điểm

a)
Giải phương trình $x^{2} - 4x - 15 = (5 - 2x)\sqrt{x - 1}$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} \sqrt{2x + y + 1} = 15 - 2y \\ x + \dfrac{y - 2}{x + 1} = 2\sqrt{y - 2} - 1 \end{cases}$

Câu 3

1,5 điểm

Năm học 2024-2025, trường THCS X có ba lớp 6 là $L_1, L_2, L_3$ và ba học sinh lớp 6 là $H_1, H_2, H_3$ đã được xếp vào ba lớp khác nhau. Ngày đầu tiên tập trung học sinh theo từng lớp, do học sinh không biết thông tin nên cô giáo Tổng phụ trách Đội dẫn ba học sinh $H_1, H_2, H_3$ vào ngẫu nhiên ba lớp $L_1, L_2, L_3$ (mỗi lớp có một học sinh vào). Học sinh $H_i$ vào đúng lớp của mình nếu học sinh $H_i$ vào lớp $L_i$ , kí hiệu $H_iL_i$ (với $i = 1; 2; 3$ ). Mô tả không gian mẫu và tính xác suất để có ít nhất một học sinh vào đúng lớp của mình.

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB > AC)$ có ba đường cao $AD, BE$ và $CF$ . Trên đoạn thẳng $DF$ lấy điểm $M$ ( $M$ khác $D$ và $F$ ), trên tia $DE$ lấy điểm $N$ sao cho $\widehat{MAN} = \widehat{BAC}$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $K$ sao cho $MK$ song song với $BC$ .

a)
Chứng minh $\widehat{AMK} = \widehat{ANE}$ và hai tam giác $AKE, AMN$ đồng dạng.
b)
Chứng minh $AF.FK = EF.FM$ và điểm $A$ cách đều hai đường thẳng $MN, DF$ .

Câu 5

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB > AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $AB$ , $N$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $AC$ , $I$ là giao điểm của $BN$ và $CM$ .

a)
Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ và $AI$ vuông góc với $MN$ .
b)
Gọi $X$ là giao điểm của $OM$ và $AB$ , $Y$ là giao điểm của $ON$ và $AC$ . Biết $MX = 4,5$ và $NY = 2$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AI$ .

Câu 6

2,5 điểm

a)
Cho hai số nguyên tố $p, q$ đều lớn hơn $5$ . Tìm số dư của phép chia $p^{30} + q^4$ cho $24$ .
b)
Tìm hai số nguyên $x, y$ khác $0$ , có ước chung lớn nhất bằng $1$ và thỏa mãn $x^2 + x = y^3 + y^2$ .

Câu 7

2,0 điểm

Cho ba số thực $x, y, z$ lớn hơn hoặc bằng $1$ và thỏa mãn $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 3\sqrt{2}xyz$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \dfrac{\sqrt{xy-1}}{y+z} + \dfrac{\sqrt{yz-1}}{z+x} + \dfrac{\sqrt{zx-1}}{x+y}$ .