Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 Toán 11 lần thứ XXVIII, năm 2024 — Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa — Vũng Tàu

Cho hai đa thức $P(x)=x^{4}-2x-1$ và $Q(x)=x^{6}+x^{4}-4x^{3}-x^{2}-1$.

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $x_{1}=1; x_{n+1}=\dfrac{1+\sqrt{1+x_{n}^{2}}-x_{n}}{1+\sqrt{1+x_{n}^{2}}+x_{n}}$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Cho số nguyên dương $m$ $(m \geq 2)$. Gọi $p$ là ước nguyên tố của $2^{2^{m}}+1$. Giả sử $p=k.2^{n}+1$ với $k$ là số nguyên dương lẻ và $n$ là số nguyên dương.

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có $H$ là trực tâm. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ cắt đoạn thẳng $AM$ tại $K$; tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ cắt đường thẳng $BC$ ở điểm $S$.

Ban chấp hành Đoàn trường THPT X gồm có $n$ thành viên. Trong năm học, Đoàn trường tổ chức $m$ chương trình, mỗi chương trình có đúng $k$ thành viên trong ban chấp hành tham gia. Mỗi thành viên trong ban chấp hành tham gia ít nhất một chương trình.