Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2023–2024 — Cụm trường THPT Gia Lâm — Long Biên, Hà Nội

Câu I

4,0 điểm

Cho phương trình $\sin x \cos 2x - \cos x + \sin x = 0$ .

4,0 điểm

1)
Tính các giới hạn sau:
1. a)
  $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{3^n}\right).$
2. b)
  $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x+7} - \sqrt{3x+1}}{x^2 - 1}.$
2)
Cho hàm số
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{ax^2 + bx} - 2}{x-1} & \text{khi } x \ne 1 \\ 4 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$
Tìm tất cả các cặp số $(a,b)$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$ .

2,0 điểm

Giải bất phương trình $\log_{\sqrt{2}} \sqrt{x+1} - \log_{\frac{1}{2}} (3-x) - \log_{8} (x+3)^2 < 0$ .

7,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ , cạnh $a$ . Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ , $SA = a\sqrt{2}$ .

1)
Tính góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$ .
2)
Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$ cắt các cạnh $SB, SC, SD$ lần lượt tại các điểm $E, F, I$ . Chứng minh đường thẳng $IE$ song song với đường thẳng $BD$ .
3)
Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $AF$ và $IE$ . Tính tỉ số $\dfrac{AH}{AF}$ .
4)
Gọi $M$ là một điểm thay đổi trên cạnh $CD$ , ( $M$ khác $C$ và $D$ ). Mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $CD$ cắt các cạnh $SC, SB$ lần lượt tại $N$ và $P$ . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $MNP$ .

3,0 điểm

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau: $\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = 3u_n + 2^n, \forall n = 1,2,3,\dots \end{cases}$

1)
Đặt $v_n = u_n + 2^n, \forall n = 1,2,3,\dots$ Chứng minh $(v_n)$ là một cấp số nhân.
2)
Tìm $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{3^n}$ .