Đề thi học sinh giỏi Toán 11 lần 1 năm 2024 — Trường THPT Vĩnh Lộc, Thanh HóaMã đề 110

Thời gian: 90 phút
Số câu: 35 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn12,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Bảng biến thiên của hàm số y: y′ > 0 trên (−∞; −1/2); y′ không xác định tại x = −1/2; y′ > 0 trên (−1/2; 3); y′ = 0 tại x = 3; y′ < 0 trên (3; +∞). Hàm số y đồng biến trên (−∞; −1/2) và (−1/2; 3), nghịch biến trên (3; +∞), đạt cực đại tại x = 3 với y(3) = 4.

A
Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty; -\dfrac{1}{2}\right)$ và $(3; +\infty)$
B
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left(-\dfrac{1}{2}; +\infty\right)$
C
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty; 3)$
D
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(3; +\infty)$

Câu 2

Trong không gian $Oxyz$ , hình chiếu của điểm $M(1; -3; 5)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ có tọa độ là

A
$\displaystyle (0; 1; 5)$
B
$\displaystyle (1; 0; 5)$
C
$\displaystyle (0; -3; 5)$
D
$\displaystyle (0; 0; 5)$

Câu 3

Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Doanh thu} & [5; 7) & [7; 9) & [9; 11) & [11; 13) & [13; 15) \\ \hline \text{Số ngày} & 2 & 7 & 7 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A
$\displaystyle [7; 9)$
B
$\displaystyle [9; 11)$
C
$\displaystyle [11; 13)$
D
$\displaystyle [13; 15)$

Câu 4

Tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \dfrac{2 - \sin 2x}{\sqrt{m\cos x + 1}}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ khi

A
$\displaystyle m > 0$
B
$\displaystyle 0 < m < 1$
C
$\displaystyle m \neq -1$
D
$\displaystyle -1 < m < 1$

Câu 5

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\log_{0,5}(x-1) > \log_{0,5}(2x-1)$ :

A
$\displaystyle S = (0; +\infty)$
B
$\displaystyle S = (1; +\infty)$
C
$\displaystyle S = (-\infty; 0)$
D
$\displaystyle S = (-\infty; 1)$

Câu 6

Cho dãy số $(u_n)$ với $\begin{cases} u_1 = \dfrac{1}{2} \\ u_{n+1} = u_n - 2 \end{cases}$

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

A
$\displaystyle u_n = \dfrac{1}{2} + 2(n-1)$
B
$\displaystyle u_n = \dfrac{1}{2} - 2(n-1)$
C
$\displaystyle u_n = \dfrac{1}{2} - 2n$
D
$\displaystyle u_n = \dfrac{1}{2} + 2n$

Câu 7

Biết $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{3x^2+2} - \sqrt{4+x}}{x^2-1} = \dfrac{\sqrt{a}}{b}$ . Tính $P = a - b$

A
$\displaystyle P = 5$
B
$\displaystyle P = 1$
C
$\displaystyle P = 2$
D
$\displaystyle P = 3$

Câu 8

Khi khai triển nhị thức Newton $G(x) = (ax+1)^n$ thì ta thấy trong đó xuất hiện hai số hạng $24x$ và $252x^2$ . Tìm $a$ và $n$

A
$\displaystyle a = 3; n = 8$
B
$\displaystyle a = 2; n = 7$
C
$\displaystyle a = 4; n = 9$
D
$\displaystyle a = 5; n = 10$

Câu 9

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của đạo hàm $y = f'(x)$ như hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng về hàm số $y = f(x)$ .

A
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;0)$
B
$\displaystyle f(-4) > f(-2)$
C
$\displaystyle f(0) > f(3)$
D
Hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị

Câu 10

Nếu hàm số $y = x + m + \sqrt{1-x^2}$ có giá trị lớn nhất bằng $2\sqrt{2}$ thì giá trị của $m$ là

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B
$\displaystyle -\sqrt{2}$
C
$\displaystyle \sqrt{2}$
D
$\displaystyle -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 11

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 2x - y - 2z + 1 = 0$ . Phương trình của $(S)$ là

A
$\displaystyle (x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 3$
B
$\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+3)^2 = 9$
C
$\displaystyle (x+1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 9$
D
$\displaystyle (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+3)^2 = 3$

Câu 12

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin(\cos x) = 0$ trên đoạn $[1;2021]$ .

A
$\displaystyle 672$
B
$\displaystyle 643$
C
$\displaystyle 642$
D
$\displaystyle 673$

Câu 13

Cho các số $a,b,c$ thỏa mãn: $\log_a 3 = 2$ , $\log_b 3 = \dfrac{1}{4}$ và $\log_{abc} 3 = \dfrac{2}{15}$ . Giá trị của $\log_c 3$ bằng:

A
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Câu 14

Nếu $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 + a x + b}{x-2} = 3$ thì $S = a + b$ bằng

A
$\displaystyle -4$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle -3$
D
$\displaystyle -6$

Câu 15

Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và diện tích xung quanh là $6a^2$ . Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A
$\displaystyle V = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$
B
$\displaystyle V = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^3$
C
$\displaystyle V = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^3$
D
$\displaystyle V = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a^3$

Câu 16

Chọn ngẫu nhiên 4 số phân biệt $a, b, c, d$ từ tập hợp $S = \{2;3;...;2020\}$ . Tính xác suất để $\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$ chia hết cho 4.

A
$\displaystyle \dfrac{C_{1009}^4+C_{1009}^4}{C_{2020}^4}$
B
$\displaystyle \dfrac{C_{1010}^4+C_{1010}^4}{C_{2020}^4}$
C
$\displaystyle \dfrac{C_{1020}^4}{C_{2010}^4}$
D
$\displaystyle \dfrac{C_{1009}^4+C_{1010}^4}{C_{2019}^4}$

Câu 17

Cho hàm số $y = \dfrac{(a-1)x+b}{(c-1)x+d}$ , $d<0$ có đồ thị như hình trên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Đồ thị hàm số $y = \frac{(a-1)x+b}{(c-1)x+d}$

A
$\displaystyle a>1,b>0,c<1$
B
$\displaystyle a>1,b<0,c>1$
C
$\displaystyle a<1,b>0,c<1$
D
$\displaystyle a>1,b>0,c>1$

Câu 18

Tìm số các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \left|x^4-2mx^2+2m^2+m-12\right|$ có bảy điểm cực trị

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 2$

Câu 19

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):z-1=0$ và $(Q):x+y+z-3=0$ . Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ , cắt đường thẳng $d': \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ . Phương trình của đường thẳng $d$ là

A
$\displaystyle \begin{cases} x=3+t \\ y=t \\ z=1+t \end{cases}$
B
$\displaystyle \begin{cases} x=3-t \\ y=t \\ z=1 \end{cases}$
C
$\displaystyle \begin{cases} x=3+t \\ y=t \\ z=1 \end{cases}$
D
$\displaystyle \begin{cases} x=3+t \\ y=-t \\ z=1+t \end{cases}$

Câu 20

Theo số liệu thống kê điểm môn toán của một trường được cho bởi bảng số liệu sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & [2;3,5) & [3,5;5) & [5;6,5) & [6,5;8) & [8;9) & [9;10) \\ \hline \text{Số học sinh} & 8 & 15 & 55 & 60 & 40 & 10 \\ \hline \end{array}

Điểm nào đại diện cho nhiều học sinh đạt được nhất?

A
$\displaystyle 6,5$
B
$\displaystyle 7,5$
C
$\displaystyle 7,25$
D
$\displaystyle 8$

Câu 21

Gọi $n$ là số nguyên dương sao cho $\dfrac{1}{\log_{2020}x}+\dfrac{1}{\log_{2020^2}x}+\dfrac{1}{\log_{2020^3}x}+...+\dfrac{1}{\log_{2020^n}x}=\dfrac{210}{\log_{2020}x}$ đúng với mọi $x$ dương, $x\neq 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P=3n+4$ .

A
$\displaystyle P=16$
B
$\displaystyle P=61$
C
$\displaystyle P=46$
D
$\displaystyle P=64$

Câu 22

Cho tứ diện $ABCD$ có $DA=DB=DC$ , tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AB=a$ , $AC=a\sqrt{3}$ . Ngoài ra $DBC$ là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $CD$ , với $M$ là trung điểm của $BC$ .

A
$\displaystyle \frac{a\sqrt{21}}{7}$
B
$\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{7}$
C
$\displaystyle \frac{a\sqrt{7}}{7}$
D
$\displaystyle \frac{a\sqrt{17}}{7}$

Câu 23

Xét một bảng ô vuông 4x4 như hình vẽ. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó hai số 1 hoặc -1. Sao cho tổng các số trong mỗi hàng hoặc mỗi cột đều bằng không. Hỏi có bao nhiêu cách ?

A
90
B
144
C
60
D
16

Câu 24

Trong môi trường nuôi cấy ổn định người ta nhận thấy rằng: cứ sau đúng 5 ngày số lượng loài của vi khuẩn $A$ tăng lên gấp đôi, còn sau đúng 10 ngày số lượng loài của vi khuẩn $B$ tăng lên gấp ba. Giả sử ban đầu có 50 con vi khuẩn $A$ và 100 con vi khuẩn $B$ , hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì số lượng vi khuẩn của cả hai loài bằng 20.900 con, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?

A
20 (ngày)
B
30 (ngày)
C
40 (ngày)
D
50 (ngày)

Phần B. Câu trắc nghiệm đúng sai5,0 điểm

Câu 1

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , xét đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(0;0;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $Ozx$ . Cho điểm $B(0;4;0)$ với điểm $C$ là điểm cách đều đường thẳng $\Delta$ và trục $Ox$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a)
Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $Oyz$ là: $\vec{n}(1;0;0)$
b)
Phương trình mặt phẳng trung trực của $OA$ là: $z - \dfrac{1}{2} = 0$
c)
Điểm $C$ không thuộc mặt phẳng trung trực đoạn $OA$
d)
Khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm $B$ và $C$ là: $\dfrac{1}{2}$

Câu 2

Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [9,5; 12,5) & [12,5; 15,5) & [15,5; 18,5) & [18,5; 21,5) & [21,5; 24,5) \\ \hline \text{Số học sinh} & 3 & 12 & 15 & 24 & 2 \\ \hline \end{array}

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
mốt của mẫu số liệu là 24
b)
Cỡ của mẫu số liệu bằng 3
c)
Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng trên là 18,2
d)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là 15,25

Câu 3

Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $m\cdot 3^{x^2-3x+2} + 3^{4-x^2} = 3^{6-3x} + m$ (với $m$ là tham số). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Khi $m = 0$ thì tập $S$ có một phần tử
b)
Có vô số giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình $m.3^{x^{2}-3x+2}+3^{4-x^{2}}=3^{6-3x}+m$ có nghiệm
c)
Số tập con của tập $S$ không quá 3 tập hợp con
d)
Số giá trị của $m$ để tập $S$ có đúng 3 phần tử luôn nhỏ hơn 3

Câu 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=1$ , $AD=\sqrt{10}$ , $SA=SB$ , $SC=SD$ . Biết mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $\Delta SAB$ và $\Delta SCD$ bằng 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
$V_{S.ABCD}=2.V_{S.ACD}$
b)
$SN \perp mp(SCD)$
c)
$SM+SN=6$
d)
$V_{S.ABCD}=1$

Câu 5

Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a)
Xác suất để mỗi bạn tung đồng xu xuất hiện mặt xấp hay mặt ngửa là bằng nhau
b)
Xét biến cố $A=$ “Không có hai người liền kề cùng đứng” thì biến cố đối $\overline{A}=$ “Tồn tại hai người liền kề cùng đứng”
c)
Tính xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=8!$
d)
Xác suất để không có hai bạn liền kề nhau cùng đứng là: $P=\dfrac{47}{256}$

Phần C. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $y'=f'(x)=-3x^{2}+6x$ . Biết $f(0)=-1$ . Tính giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(x^{2}-3x+2)+2022$ trên đoạn $\left[-3;\dfrac{1}{2}\right]$ .

Trả lời:

Câu 2

Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Hùng và đúng một bạn tên Phượng vào ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6 chỗ, 7 chỗ và 8 chỗ. Tính xác suất để hai bạn Hùng và Phượng ngồi cạnh nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 3

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tham số $m$ để phương trình $\dfrac{4m^{3}+m}{\sqrt{2f^{2}(x)+5}}=f^{2}(x)+3$ có hai nghiệm phân biệt trên nửa đoạn $[-3;7)$ . (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 4

Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $\log_{3} \dfrac{1-xy}{x+2y} = 3xy + x + 2y - 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của $P = x + y$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 5

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ , khoảng cách từ $C$ đến $BB'$ là $\sqrt{5}$ , khoảng cách từ $A$ đến $BB'$ và $CC'$ lần lượt là $1; 2$ . Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $A'B'C'$ là trung điểm $M$ của $B'C'$ , $A'M = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$ . Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Câu 6

Lãi suất tiền gửi ngân hàng của một số ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi vào ngân hàng (theo hình thức lãi kép) số tiền ban đầu là $5$ triệu đồng với lãi suất $0,7\%$ /tháng. Chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên $1,15\%$ /tháng trong nửa năm tiếp theo mà bạn Châu gửi tiếp. Sau nửa năm đó lãi suất lại giảm xuống còn $0,9\%$ /tháng và bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa rồi rút tiền về. Khi rút tiền bạn Châu được cả gốc và lãi là $5.816.672,205$ đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiết kiệm tất cả bao nhiêu tháng?

Trả lời:

HẾT