Đề thi Olympic Toán 11 năm 2023–2024 — Cụm trường THPT Hoàn Kiếm — Hai Bà Trưng, Hà Nội

Câu I

4,0 điểm

Giải các phương trình sau:

1)
$(\sin x + \cos x)(2\sin x + 1) = 2 + 2\sin 2x.$
2)
$\dfrac{1}{\tan x} + \dfrac{\sin x}{\cos x - 1} = 1 - 2\sin x.$

Câu II

2,0 điểm

Tính các giới hạn sau:

1)
$\lim_{n \to +\infty}\left(\sqrt{n^2 + n + 1} + \sqrt{4n^2 + 2n + 1} - 3n\right).$
2)
$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}\sqrt[3]{1+2x} - 1}{x}.$

Câu III

3,0 điểm

Cho bất phương trình $\log_{\sqrt{2}}\sqrt{x^2 + 2} + \log_{\frac{1}{2}}\left(3x^2 + x + m\right) + 1 < 0.$

1)
Giải bất phương trình đã cho khi $m = 2.$
2)
Tìm các giá trị của $m$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $(-2;3).$

Câu IV

1,0 điểm

Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số 0 xuất hiện đúng 3 lần. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $S$ , tính xác suất để số đó chia hết cho 5.

Câu V

6,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $SB = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ , các cạnh còn lại của hình chóp bằng $a.$ Gọi $I$ là trung điểm $AC.$

1)
Chứng minh $SI$ vuông góc với đường thẳng $BC.$
2)
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC.$
3)
Gọi $G$ và $G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và tam giác $SAC.$ Một mặt phẳng đi qua $G$ và $G'$ cắt hai cạnh $SA, SC$ lần lượt tại $M$ và $N.$ Khi $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích của tam giác $GMN.$

Câu VI

4,0 điểm

1)
Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $u_1 = 1$ và công sai $d > 0.$ Chứng minh
$\frac{1}{u_1u_2} + \frac{1}{u_2u_3} + \dots + \frac{1}{u_{2023}u_{2024}} < \frac{1}{d}.$
2)
Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau $\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = 2u_n - n + 1, \forall n = 1, 2, 3, \dots \end{cases}$

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n).$ Tính $\lim_{n \to +\infty}\dfrac{u_n}{3^n}.$