Đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 Toán 10 lần thứ XXVIII, năm 2024 — Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa — Vũng Tàu

Cho hai đa thức $P(x)=x^9-x^5+x-4$ và $Q(x)=x^{13}-4x^4+2x-4$. Gọi $x_0$ là một nghiệm thực của đa thức $P(x)$.

Kí hiệu $\mathbb{Z}$ là tập hợp các số nguyên. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(1)=\dfrac{5}{4}$ và với mọi số nguyên $m,n$ thì $f(m+n)+f(m-n)=2f(m)f(n)$.

Xét hai số nguyên tố $p,q$ thay đổi sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn đẳng thức $\dfrac{p}{p+1}+\dfrac{q+1}{q}=\dfrac{2n}{n+2}$. Tìm tập hợp giá trị của biểu thức $q-p$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ có $M$ là trung điểm $BC$. Giả sử đường tròn $(M,MA)$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$ (khác $A$).

Trên bảng có viết các số $1;2;3;\ldots;2024$ gồm $2024$ số nguyên dương đầu tiên. Người ta thực hiện liên tiếp thao tác sau: mỗi lần chọn tùy ý hai số $x,y$ ở trên bảng sao cho $x \geq y+2$ rồi xóa hai số này đi và thay bởi hai số $x-1;y+1$. Nếu từ các số trên bảng mà không thể thực hiện được thao tác như trên, ta gọi đó là trạng thái dừng.