Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 (chuyên) đợt 2 năm 2024 — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Câu 1

3,0 điểm

Giải hệ phương trình

\begin{cases} \sqrt{2y - x} = \sqrt{5x - y} - 1 \\ 2\sqrt{2y - x} - y^2 - 3 = 2x^2 + y - 3xy \end{cases}.

Câu 2

3,0 điểm

Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập số thực $\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện $f(1) = 5$ và $(x - y).f(x + y) - (x + y).f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2)$ với mọi số thực $x, y$ .

Câu 3

3,0 điểm

a)
Cho $x, y$ là hai số nguyên dương phân biệt bất kỳ, chứng minh rằng tích số $(16x + y).(x + 16y)$ không phải là lũy thừa nguyên dương của $2$ .
b)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên $(x; y)$ của phương trình $x^3 - y^3 = 2xy + 8$ .

Câu 4

5,0 điểm

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ với $R < R'$ , cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $\widehat{OAO'} = 90^\circ$ . Đường thẳng $OO'$ cắt đường tròn $(O; R)$ tại $C, D$ và cắt đường tròn $(O'; R')$ tại $E, F$ sao cho các điểm $C, O, E, D, O', F$ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. Tia $BE$ cắt đường tròn $(O; R)$ tại $K$ (khác $B$ ) và cắt đoạn thẳng $AC$ tại $M$ . Tia $BD$ cắt đường tròn $(O'; R')$ tại $L$ (khác $B$ ) và cắt đoạn thẳng $AF$ tại $N$ .

a)
Chứng minh ba điểm $A, C, L$ thẳng hàng.
b)
Tính $\dfrac{KE.LN}{KM.LD}$ theo $R, R'$ .

Câu 5

3,0 điểm

Có tất cả bao nhiêu cách lấy cùng lúc ba thẻ từ hộp đựng $20$ thẻ được ghi số từ $1$ đến $20$ sao cho các số ghi trên ba thẻ đó là độ dài ba cạnh của một tam giác?

Câu 6

3,0 điểm

Cho ba số thực dương $x, y, z$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \left(\frac{x}{y} + 1\right)\left(\frac{y}{z} + 1\right)\left(\frac{z}{x} + 1\right) - \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}}.